python中递归函数的问题

我有一个递归定义这个函数的问题。我的目标是让函数返回给定

n

的最大收入<代码>n（以米为单位）这是布的数量。

h

列表是销售

n

米长地毯的利润。例如，

h[2]=5

是制作2米长地毯的利润，为了简单起见，是5美元，

h[0]=0

，因为没有布料，也没有产品生产。所以

h

列表就是不同长度地毯的市场价值。如果我有

n

米的布料，我希望函数返回最大利润。价格仅针对高达4米的地毯定义，因此为什么

h

列表就是这样。例如，

n=2

的递归计算出一块2米大的地毯的价值，并将利润与两块1米的地毯进行比较，依此类推

递归大致表述为：

• 收入（0）=0

---

• income（n）=max（h[i]+income（n-i））

  对于

  1您试图解决的问题是无界的一个版本。与其试图最大化你能装进一个包的价值，不如尝试最大化你能用你的布做的地毯的价值。你关心的不是物品的重量，而是地毯上用了多少布。但结果是一样的。在任何情况下，对于任意输入来说，这是一个很难有效解决的问题，但是对于较小的
  n
  值，您可以非常轻松地强制执行它
  
  您正确地确定了您的递归将永远持续（或者直到递归限制），因为您没有编写基本情况。实际上比这更糟糕，因为第一个递归是
  i
  等于
  0
  ，它再次调用函数，调用的
  n
  与您已经尝试求解的
  n
  完全相同（因为
  n-i
  是
  n
  当
  i==0
  时）
  
  当
  i
  为零时，您确实不希望递归，因为您根本不会缩小问题的范围。最简单的方法可能只是修改您的
  范围
  ，从
  1开始
  i
  ，然后从那里开始增加。您还需要一些逻辑来防止循环超过索引4，因为对于更长的长度，列表中没有更多的值
  
  def income(n):
      if n == 0:         # base case
          return 0
      h = [0,2,5,6,9]
      return max(h[i]+income(n-i) for i in range(1, min(n+1, len(h))))  # recursive case
  
  除了为
  n==0
  添加基本情况并修复
  范围之外，我还用执行递归的生成器表达式替换了循环。这是必要的，因为
  max
  需要几个参数（它相互比较），或者一个iterable参数（比较谁的值）。您只传递了一个值，这不起作用
  
  上面的版本适用于较小的
  n
  值，最大值约为15。但是，要想达到更高的值，需要花费越来越长的时间，因为递归变得非常深入和广泛，最终需要反复计算很多值。这就是我说背包问题很难的意思
  
  一个可以大大加快速度的技巧是，在第一次计算出结果时缓存每个计算的结果，如果以后需要，使用缓存的值
  
  _cache = {0: 0}   # the cache is pre-seeded to handle our base case of n=0
  def income(n):
      if n not in _cache:
          h = [0,2,5,6,9]
          _cache[n] = max(h[i]+income(n-i) for i in range(1, min(n+1, len(h))))
      return _cache[n]
  
  我还要进一步指出，对于您的特定
  h
  列表，看起来最好是尽可能多地制作2米长的地毯，如果您从一个奇数
  n
  开始，则最多可以制作一块1米长的地毯来用完最后一米的布料。因此，如果您愿意为示例中非常具体的问题硬编码此最佳解决方案，您可以跳过递归，只需执行以下操作：
  
  def income(n):
     return n//2 * 5 + n%2 * 2
  
  您的无限递归与列表中的第一个值有关，您总是可以做无限多的免费事情，而这些事情不会给您带来任何利润。也许你应该跳过这个案例，因为什么都不做对你没有任何好处。这看起来是无界的一个版本，很难有效地解决，但对于小案例来说，暴力也不太难。如果现在问题更清楚，我就编辑了这个问题。你永远不会停止递归，因为你永远不会使用
  income（0）=0
  这一事实。每个递归函数应该做的第一件事是检查递归终止条件。另外，你的老师所说的第二个条件是
  max（h[i]+income（n-i）for i in range（1，n+1））
  ；阅读有关列表理解和生成器表达式的内容来理解这一点。感谢您的输入，我已经添加了我提出的解决方案。请随意评论这是否合理。我还添加了我的缓存版本，但我不确定它是否正常工作。
  def income(n):
      if n == 0:         # base case
          return 0
      h = [0,2,5,6,9]
      return max(h[i]+income(n-i) for i in range(1, min(n+1, len(h))))  # recursive case
  
  _cache = {0: 0}   # the cache is pre-seeded to handle our base case of n=0
  def income(n):
      if n not in _cache:
          h = [0,2,5,6,9]
          _cache[n] = max(h[i]+income(n-i) for i in range(1, min(n+1, len(h))))
      return _cache[n]
  
  def income(n):
     return n//2 * 5 + n%2 * 2