Scheme 什么是定点？

我正在重播早些时候的一些讲座。定点的概念让我有点困惑。定点过程：我应该这样考虑吗，“这是找到给定函数的定点的方法。”那么给定的

f（2）=2

另外，为什么在中说明映射到

x/y

的新函数

y

是一个固定点？

根据：

在数学中，函数的不动点（有时简称为不动点，也称为不变点）是函数域中由函数映射到自身的元素

因此，正如您所写，

f（2）=2

表示

2

是一个固定点，而

f

说明了什么是固定点，但这仍然留下了问题的另一部分：

另外，为什么映射到x/y的新函数y是一个固定点

讲师在你提到的那一点上讲得很快，但我认为他实际上是这么说的√x是多个函数的不动点，这是一个明显的函数√x是一个不动点

y&mapsto；x/y

自

√x=x/√x

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但是，给定的计算固定点的程序不适用于此函数，因为其内部程序

iter

循环初始值，并将函数应用于初始值。因此，新值/旧值的顺序是（1,2），（2,1），（1,2），…

当您在迭代函数中得到与上次相同的结果时。要理解这一点，请想象一个已知序列的正常函数：

想象一下函数

f（x）=2^（n+1）-1

。它被称为梅森序列，你应该给它一个从0开始的索引，它使序列

1,3,7,15,31，

（基本上它比2的每一次幂都小1）

现在，您可以通过将函数更改为迭代来生成相同的序列。迭代版本是

f（x）=2x+1

。现在x不再是索引，而是前面的结果。从0开始，得到

1,3,7,15,31，…

现在这个函数没有固定点，因为应用它的结果总是大于它的参数。我们可以说它爆炸了

来回答你的第一个问题。在SICP视频中，他们谈论的是平方根。n的平方根是迭代函数

f（x）=n/x

的不动点，因为

sqrt（x^2）=x

不会映射到其他函数

一般的固定点函数类似于它们对固定点的定义，即迭代函数，直到输入到函数中的值等于（或足够接近）下一个计算数

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现在我们看到，我们无法从Mersenne中找到一个固定点，我们知道我们需要平均阻尼

n/x

，它才能收敛，但有些函数实际上是自己收敛的，比如

f（x）=x/4+1

收敛到

3/2

。请注意，即使对其进行平均阻尼，它仍将变为

3/2

，因此只有没有固定点的函数将永远循环。

这是我的两分钱。这确实令人困惑

首先，简单的定义是：点

x

是函数

f

的“固定点”，如果

f（x）=x

换句话说，

x=f（x）

以上这些有什么意义吗？似乎不太可能。毕竟，它使用正在定义的值

x

不一定是一个简单的数字。它可以是一个函数，也可以是一个惰性无限列表，

f

可以部分定义它。然后，通过反复评估

x = f(x) = f( f(x)) = f( f( f(x))) = f( f( f( f(x)))) = ....

该值的定义越来越多。现在，这确实提醒我们通过迭代计算计算

f（y）=（y+n/y）/2

不动点的数值示例

n=25；f（1.0）=13.0；f（13.0）=7.4615383；f（7.4615383）=5.406027；
f（5.406027）=5.0152473，f（5.0152473）=5.0152473；f（5.0152473）=5.0

关键的部分不是等待无限的评估链结束（永远不会结束），而是有一个记录评估步骤进展的惰性列表。然后，我们的价值观——无限列表——被逐步定义：首先，它根本没有定义；然后定义了它的第一个（head）元素，其余的仍然没有定义；然后定义了它的前两个元素；等：

[1.0,13.0,7.4615383,5.406027,5.0152473,5.000023,5.0,5.0,5.0,5.0…]

正如数值收敛到某个数字，越来越接近“最终”值（永远无法达到，但距离越来越小），结果的无限列表也会收敛到其最终值，即定义了所有元素的完全定义的无限列表（当然，这是一个不可能的壮举），在定义上越来越接近最终值（简单地说，它的元素一个接一个地定义，但数学家喜欢它的复杂性）

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与函数类似。如果

g（h，n）=n1；else->n*h（h，n-1）

则

g（error）

是一个只为

n<2

定义的一个参数的（当前）函数，与任何其他参数一样，它将发散（导致错误）。但是

g（error）

是为所有

n<3

定义的；

g（error））

-对于所有的

n<4

，等等。同样，我们有一个越来越明确的值的级数……因此级数的极限，即“极限值”，函数

g

的不动点是这样一个函数

f

，即

f=g（f）

它是为任何

n

定义的，不管多大。它巧合地是一个阶乘函数，定义时没有使用递归。

因此，如果我计算x/y的不动点，我将使用新的x/y值，并将其重新添加到我的不动点过程中。它最终将变为0？这就是为什么它是f