Search 二进制搜索-最差/平均情况

我发现很难理解为什么/如何使用二进制搜索在数组/列表中搜索键的最坏和平均情况是O（log（n））

日志（1000000）仅为6。日志（1000000000）只有9-我知道，但我不明白解释。如果没有进行测试，我们如何知道平均/最坏情况实际上是log（n）

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我希望你们能理解我想说的。如果没有，请让我知道，我会尝试以不同的方式解释

最坏情况

每次二进制搜索代码做出决定时，它都会将剩余元素的一半从考虑范围中删除。因此，你将每个决策的元素数除以2

在你只剩下一个元素之前，你能除以2多少次？如果n是元素的起始数量，x是除以2的次数，我们可以这样写：

n/（2*2*2*…*2）=1[将“2”重复x次]

或者，相当于

n/2^x=1

或者，相当于

n=2^x

所以n的log base 2给出了x，这是所做决策的数量

最后，您可能会问，如果我使用log base 2，为什么也可以像您所做的那样将其编写为log base 10？基数并不重要，因为区别在于大O符号“忽略”了哪个

平均案例

我知道你也问过一般情况。考虑：

数组中只有一个元素可以在第一次尝试时找到

第二次尝试只能找到两个元素。（因为在第一次尝试后，我们选择了右半部分或左半部分。）

第三次尝试只能找到四个元素

你可以看到模式：1，2，4，8，不适用。要表示朝另一个方向移动的相同图案，请执行以下操作：

一半的元素采取了最多数量的决策来查找

四分之一的元素少做一个查找的决定

等等

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由于一半的元素占用的时间最多，所以其他元素占用的时间少多少并不重要。我们可以假设所有元素占用的时间都是最大的，即使其中一半实际上占用了0时间，我们的假设也不会超过实际平均值的两倍。我们可以忽略“double”，因为它是一个常数。因此，就大O表示法而言，平均情况与最坏情况相同。

对于二进制搜索，数组应按升序或降序排列

在每个步骤中，算法将搜索键值与数组中间元素的键值进行比较

如果键匹配，则找到匹配的元素并返回其索引或位置

否则，如果搜索键小于中间元素的键，则算法将在中间元素左侧的子数组上重复其操作

或者，如果搜索键更大，则算法会在右侧的子数组上重复其操作

如果要搜索的剩余数组为空，则在数组中找不到密钥，并返回一个特殊的“未找到”指示

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因此，二进制搜索是一种二分法分治搜索算法。因此，执行搜索操作需要对数时间，因为元素在每次迭代中减少一半。

对于我们可以进行二元搜索的排序列表，二元搜索所做的每个“决定”都会将您的键与中间元素进行比较，如果较大，则会占用列表的右半部分，如果更少，它将占据列表的左半部分（如果匹配，它将返回该位置的元素），对于产生O（logn）的每个决策，有效地将列表减少一半

然而，二进制搜索仅适用于排序列表。对于未排序的列表，您可以直接从第一个元素开始搜索，产生O（n）的复杂度

O（logn）

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尽管这完全取决于要执行的搜索数量、输入等，但最好的方法是什么。

对于二进制搜索，先决条件是将排序数组作为输入

•列表排序时：
•当然，我们不必检查字典中的每个单词来查找单词。
•基本策略是反复将搜索范围减半，直到找到值。
•例如，在下面的9个列表中查找5个。v=1 1 3 5 8 10 18 33 42
•我们首先从中间开始：8

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•由于5在二进制搜索的情况下，时间复杂度为O（以对数为基数2 n），而不是以对数（以10为基数）n。和log（base2）1000000=19.931569。

int binary_search (vector<int> v, int val) {
 int from = 0;
 int to = v.size()-1;
 int mid;
 while (from <= to) {
  mid = (from+to)/2;
  if (val == v[mid])
    return mid;
  else if (val > v[mid])
    from = mid+1;
  else
    to = mid-1;
  }
 return -1;
}