Time complexity 嵌套的for循环是否自动为O（n^2）？

我最近被问到一个关于测试数独板有效性的采访问题。一个基本的答案是

for

循环。基本上：

for(int x = 0; x != 9; ++x)    
    for(int y = 0; y != 9; ++y)
        // ...

执行嵌套的

for

循环以检查行。再次执行此操作以检查列。对子方块再做一个，但那个更时髦，因为我们把suoku板分成子板，所以我们最终得到两个以上的嵌套循环，可能是三个或四个

后来有人问我这个代码的复杂性。坦白地说，就我而言，董事会的所有单元都被访问了整整三次，所以

O（3n）

。对我来说，我们有嵌套循环的事实并不意味着此代码自动

O（n^2）

或

甚至O（n^循环的最高嵌套级别）

。但我怀疑这是面试官期望的答案

换句话说，这两段代码的复杂性是什么：

for(int i = 0; i != n; ++i)
    // ...

以及：

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这取决于您如何定义所谓的

N

如果电路板的大小是N乘N，那么是的，复杂性是O（N^2）

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但是如果你说，网格的总数是N（即，电路板id sqrt（N）-乘以sqrt（N）），那么复杂度是O（N），或者如果你注意这个常数，那么复杂度是3O（N）。

你的一般直觉是正确的。让我们澄清一下大O符号：

Big-O为算法的最坏情况（时间）复杂度提供了一个上限，与输入的大小n有关。本质上，它是衡量工作量如何随输入量的变化而变化的指标

当你说

电路板的所有单元都被访问了整整三次，所以O（3n）

您的意思是

n

（输入的大小）是电路板中的单元数，因此访问所有单元三次确实是一个O（3n）（即O（n））操作。如果是这种情况，你是对的
然而，通常在提到数独问题（或涉及网格的问题）时，n是指每行/每列（一个

nxn

board）中的单元数。在这种情况下，运行时复杂性将是O（3n²）（实际上等于O（n²））
将来，问你的面试官n是什么是完全正确的

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至于标题中的问题（嵌套for循环是否自动为O（n^2）？简短的回答是否
考虑这个例子：

for(int i = 0 ; i < n ; i++) {
    for(int j = 0 ; j < n ; j * 2) {
       ... // some constant time operation
    }
}

for（int i=0；i

外部循环进行n次迭代，而内部循环进行log2（n）次迭代，因此时间复杂度为O（nlogn）

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在您的示例中，在第一个示例中，您有一个for循环进行n次迭代，因此复杂性（至少）为O（n）（操作执行次数为n次）
在第二个循环中，嵌套了两个for循环，每个循环进行sqrt（n）次迭代，因此运行时的总复杂度至少为O（n）。第二个函数不自动为O（n^2），因为它包含嵌套循环。进行的操作数量仍然是相同的顺序（n），因此这两个示例具有相同的复杂性-，因为我们假设两个示例的n相同
这是回家最关键的一点。要比较两种算法的性能，必须使用相同的输入进行比较。在你的数独问题中，你可以用几种不同的方式定义

n

，你所做的方式会直接影响问题的复杂性计算——即使工作量是一样的

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*注意-这与您的问题无关，但以后请避免使用

=循环内条件。在第二个示例中，如果log（n）不是整数，则循环可能永远运行，具体取决于语言和定义方式。因此，建议使用
谢谢您的回答。尽管如此，我还是忍不住觉得用两个循环作为
n^2
来限定循环内存很奇怪/愚蠢/虚伪，因为我们对内存的心理表征是一个正方形的游戏板。。。我可以使用单个循环迭代二维数组
inta[10][10]
：
for（inti=0；I！=100；++I）{a[I/10][I%10]；}
。这是否突然使我的算法从
O（n^2）
变为
O（n）
？我也在做同样的工作！同样，这只取决于您如何定义输入n。当你考虑使用Big-O的动机时，它变得更清晰：当我们看一个编码问题和它的一些解决方案时，我们想知道我们的解决时间对于更大的输入增加的速率。换句话说，它是如何扩展的。在你的例子中，如果你定义n=10^2，你可以说你的算法是O（n），但它与定义n为10并称之为O（n^2）有什么不同？对于常见问题，n以一种特定的方式定义为一种惯例，以使讨论更容易、更有成效。
for(int i = 0 ; i < n ; i++) {
    for(int j = 0 ; j < n ; j * 2) {
       ... // some constant time operation
    }
}