Z3 为什么0=0.5？

在处理.smt2文件时，我注意到Z3 4.3.1有一些奇怪的行为

如果我做了

（断言（=0.5））

，它将是可以满足的。但是，如果我切换顺序并执行

（assert（=0.50））

，这是不可满足的

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我猜测，如果第一个参数是整数，它将两个参数都转换为整数（将0.5舍入为0），然后进行比较。如果我将“0”更改为“0.0”，它将按预期工作。这与我使用过的大多数编程语言不同，在这些语言中，如果任何一个参数是浮点数，它们都转换为浮点数并进行比较。这真的是Z3中的预期行为吗？

我们的一位实习生在研究SMT2的保守扩展和多态性时注意到了同样的奇怪行为，他试图理解混合整数和实数的公式是如何进行类型检查的：

z3（）表示下面的示例是SAT，并找到一个模型x=1

(set-logic AUFLIRA)
(declare-fun x () Int)
(assert (= x 1.5))
(check-sat)
(get-model)
(exit)

但是，它说，UNSAT中的以下“等效”示例

(set-logic AUFLIRA)
(declare-fun x () Int)
(assert (= 1.5 x))
(check-sat)
(exit)

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因此，这不符合等式谓词的对称性。因此，我认为这是一个bug。

我认为这是缺乏类型检查的结果；z3太宽大了。它应该简单地拒绝这些查询，因为它们的格式不好

根据SMT Lib标准，v2（）；第30页；核心理论的定义如下：

(theory Core
:sorts ((Bool 0))
:funs ((true Bool) (false Bool) (not Bool Bool)
      (=> Bool Bool Bool :right-assoc) (and Bool Bool Bool :left-assoc)
      (or Bool Bool Bool :left-assoc) (xor Bool Bool Bool :left-assoc)
      (par (A) (= A A Bool :chainable))
      (par (A) (distinct A A Bool :pairwise))
      (par (A) (ite Bool A A A))
      )
:definition
"For every expanded signature Sigma, the instance of Core with that signature
is the theory consisting of all Sigma-models in which:
  - the sort Bool denotes the set {true, false} of Boolean values;
  - for all sorts s in Sigma,
       - (= s s Bool) denotes the function that
         returns true iff its two arguments are identical;
       - (distinct s s Bool) denotes the function that
         returns true iff its two arguments are not identical;
       - (ite Bool s s) denotes the function that
         returns its second argument or its third depending on whether
         its first argument is true or not;
       - the other function symbols of Core denote the standard Boolean operators
         as expected.
       "
  :values "The set of values for the sort Bool is {true, false}."
)

因此，根据定义，相等要求输入排序相同；因此，上述查询应被视为无效而拒绝

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可能会切换到z3或其他一些设置，强制执行比默认情况下更严格的类型检查；但是，即使使用最轻松的实现，我也会预料到这种情况

一个可能的解决方案是

(declare-fun x () Real)
(declare-fun y () Real)
(assert (= x 0))
(assert (= y 0.5))
(check-sat)
(push)
(assert (= x y) )
(check-sat)
(pop)

输出是

sat
unsat

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Z3不是唯一的SMT解算器类型检查这些示例：

• CVC4也接受它们（即使使用选项--smtlib strict），并在上述公式的两种情况下都回答UNSAT

• Yices接受它们并回答UNSAT（将逻辑更改为QF_LIA后，因为它不支持AUFLIRA）

• 对于（set logic QF_LIA），Z3发出一个错误：（错误“第3行第17列：逻辑不支持reals”）

• Alt Ergo说在这两种情况下“键入错误：Int和Real不能统一”。但是Alt Ergo的SMT2解析器非常有限，并且没有经过严格测试，因为我们主要关注它的本地多态语言。因此，不应将其作为参考

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我认为开发人员通常假定Int和Real之间存在“隐式”子类型关系。这就是为什么Z3、CVC4和Yices（可能还有其他人）成功地检查了这些示例的类型。

不依赖任何解算器的隐式类型转换。相反 使用

到_real

和

到_int

进行显式类型转换。只发送 向解算器发送类型良好的公式。然后穆罕默德·伊格内拉拉的例子如下

(set-logic AUFLIRA)
(declare-fun x () Int)
(assert (= (to_real x) 1.5))
(check-sat)
(exit)

(set-logic AUFLIRA)
(declare-fun x () Int)
(assert (= 1.5 (to_real x)))
(check-sat)
(exit)

(set-option :produce-models true)
(set-logic AUFLIRA)
(declare-fun x () Int)
(assert (= (to_int 1.5) x))
(check-sat)
(get-model)
(exit)

(set-option :produce-models true)
(set-logic AUFLIRA)
(declare-fun x () Int)
(assert (= x (to_int 1.5)))
(check-sat)
(get-model)
(exit)

这两个都返回Z3和CVC4中的UNSAT。如果相反，你真的 想要找到

x=1

的模型，您应该使用一个 下面是一个例子

(set-logic AUFLIRA)
(declare-fun x () Int)
(assert (= (to_real x) 1.5))
(check-sat)
(exit)

(set-logic AUFLIRA)
(declare-fun x () Int)
(assert (= 1.5 (to_real x)))
(check-sat)
(exit)

(set-option :produce-models true)
(set-logic AUFLIRA)
(declare-fun x () Int)
(assert (= (to_int 1.5) x))
(check-sat)
(get-model)
(exit)

(set-option :produce-models true)
(set-logic AUFLIRA)
(declare-fun x () Int)
(assert (= x (to_int 1.5)))
(check-sat)
(get-model)
(exit)

这两个返回值在Z3和CVC4中均为

x=1

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一旦你将所有类型转换都显式化，并且只处理类型良好的公式，等式的参数顺序就不再重要（为了正确）。

Jochen Hoenicke给出了关于“混合实数和整数”的答案（在SMT-LIB邮件列表上）。这是：

我只是想指出，语法可能是正式正确的。 AUFLIRA和AUFNIRA有一个扩展

从

“对于每个运算符，对于某些 排序s，以及排序Int的每个项t1，t2和排序实的每个项t 表达 -（op t1 t）是（op（to_real t1）t）的语法糖 -（opt t1）是（opt（to_real t1））的语法糖 -（/t1 t2）是（/（to_real t1）（to_real t2））的语法糖。“

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严格地说，Z3在默认情况下不符合SMT2.0，这就是其中之一。我们可以加上

(set-option :smtlib2-compliant true) 

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然后这个查询确实被正确地拒绝了。

声明：“……与大多数编程语言不同，Z3不会自动将整数转换为实数，反之亦然……”Oki，因此如果没有隐式转换，类型检查时应拒绝断言。@PetrVepřek想知道当您断言

0.5等于0

时，哪些语言会自动将0.5转换为0……它们都违反了SMT库规范。据我所知，该标准不允许存在“子类型”关系；也不清楚这种关系在总体上意味着什么。我建议您在SMT Lib邮件列表中提出这一点，并在那里寻求澄清：“不要依赖于隐含的任何东西”，说起来容易做起来难。这是含蓄的，没有被要求就发生了。我同意！但讨论的是“工具”，而不是“使用工具的人”和“他们应该如何使用工具”。我们开发工具来帮助我们。在这里，SMT求解者应该说示例类型不好。否则，这是一个错误。是的，这是一个错误。工具有漏洞。防御性的。为你拥有的工具而不是你想要的工具编写代码；平等是逻辑学中一个更为基本的概念。我希望标准在这一点上是明确的。在任何一种情况下，原始问题都是开放的：在任何一种情况下，Z3的行为似乎都有一个bug：它要么拒绝查询为无效，要么正确地处理“=”，并像您之前观察到的那样相应地回答这两个问题。