Z3 使用unsat消除forall

我们知道，我们可以通过这样来证明一个定理的有效性：

let Demorgan(x, y) = formula1(x,y) iff formula2(x,y)
assert ( forall (x,y) . Demorgan(x,y) )

或者，我们可以通过这样说来消除forall量词：

let Demorgan(x, y) = formula1(x,y) iff formula2(x,y)
( assert (not  Demorgan(x,y) ) )

如果它返回unsat，那么我们可以说上面的公式是有效的

现在，我想用这个想法从以下断言中删除forall量词：

assert ( exists x1,x2,x3 st .( forall y . formula1(x1,y) iff
                                          formula2(x2,y) iff
                                          formula3(x3,y) ) )

在Z3（使用C++ API或SMT-LIB2.0）中，我有什么方法可以断言如下：

assert (exists x1,x2,x3 st. ( and ((not ( formula1(x1,y) iff formula2(x2,y) )) == unsat)
                                  ((not ( formula2(x2,y) iff formula3(x3,y) )) == unsat))) 

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是的，当我们可以证明一个公式的有效性，证明它的否定是不可满足的。 例如，为了证明

Forall X.F（X）

是有效的，我们只需要证明

not（Forall X.F（X））

是不可满足的。公式

not（对于所有X.F（X））

等同于

（Exists X.not F（X））

。公式

（存在X。非F（X））

与公式

非F（X）

相等，其中绑定变量

X

被新常数

X

替换。所谓公平可满足，我的意思是第一个是可满足的，如果第二个是。这个删除存在量词的步骤通常称为。 请注意，后两个公式不等价。 例如，考虑解释<代码> {x> 2 } <代码>，将<代码> x <代码>分配给<代码> 2 < /代码>。公式

存在X。not（X=2）

在此解释中仍然计算为true，因为我们可以选择

X

作为

3

。另一方面，公式

not（X=2）

在此解释中计算为false。 对于给定公式

F

生成等效的无量词公式

F'

的过程，我们通常使用术语量词消除过程。因此，skolemization不被视为量词消除程序，因为其结果不是等效公式

也就是说，我们不必一步一步地应用skolemization。Z3可以为我们做这件事。以下是一个示例（也可在线获取）

现在，让我们考虑一个公式<代码>存在x.fALL y.f（x，y）< /COD>。为了证明这个公式的有效性，我们可以证明否定

不存在，因为所有的Y.F（X，Y）

都是不可满足的。对于所有X.存在Y.而不是F（X，Y），该否定等价于

。现在，如果对这个公式应用skolemization，我们得到所有X的
，而不是F（X，Y（X））
。在这种情况下，绑定变量
Y
被替换为
Y（X）
，其中
Y
是结果公式中的新函数符号。直觉是函数
Y
是“选择函数”。对于每个
X
，我们可以选择不同的值来满足公式
F
。Z3为我们自动执行所有这些步骤。我们不需要手动应用skolemization。然而，在这种情况下，结果公式通常更难求解，因为它在skolemization步骤后包含一个通用量词

(declare-sort S)
(declare-fun F (S) Bool)
(declare-fun G (S) Bool)
(define-fun Conjecture () Bool 
    (forall ((x S)) (= (and (F x) (G x)) (not (or (not (F x)) (not (G x)))))))
(assert (not Conjecture))
(check-sat)