Algorithm 合并两个部分（联合超定）排序信息集

我有一个网格数据的web应用程序。用户可以对列重新排序，服务器可以更改存在的列。我想将用户的列顺序保存在cookie中，并在页面加载时恢复它

更正式地说，我有两个唯一ID（字符串）数组，分别称为

user\u columns

和

server\u columns

。我想重新排序

server\u列

，以便我尊重

user\u列

中的所有排序信息，并尽可能多地从

server\u列

中排序。我该怎么做？“尽可能多”的合理正式定义是什么

我目前的分析是：

问题的一个方面很简单：如果服务器删除了一些列，则从

user\u列

中删除相应的条目。关于不再存在的列的排序的任何信息都没有意义。然后问题就变成了合并两组潜在冲突的排序信息

这与投票理论中的一系列问题相对应：给定一组选票，每个选票都包含候选人之间的部分顺序，产生候选人的完整顺序，这在某种意义上反映了选票

这使我想到，我可能会得到一个可行的解决方案，例如，根据

用户列

和

服务器列

将or应用于一组经过充分操纵的选票。出于用户体验的原因，通过最后（在右边）插入新列来打破关系对我来说似乎是个好主意

这听起来像是在正确的轨道上吗

---

请注意，我们可以考虑三种比较：A和B都在<代码> USER列中，其中一个是，或者没有。前者和后者很容易解决（分别参考

用户列

和

服务器列

）；中间的一个，以及它与后者的交互是棘手的部分。

< P>一个可能合理的定义是最小化相对于服务器顺序的倒数，受约束的限制，即两个命令的共同列的限制相等。我不知道一个算法来最小化这个目标。

假设我们有C列，编号从1到C。我们有两个列序列，U=u1，u2。。。un和S=s1，s2。。。山猫。我们想找到S的一个置换P，使得P对U没有倒数，对S有最小倒数

我们可以证明存在这样一个最优p，它是U的交错∩ S和S\U。通过“交错”，我的意思是P对U没有倒数∩ S或S\U

我们可以应用于寻找最佳交织：设A=（ai）=U∩ S和B=（bj）=S\U。设f（i，j）为A的前缀a1…i和B的前缀b1…j的最佳交错的逆w.r.t.S的数目。该思想与DP算法非常相似。我们有复发

f(0,j) = 0 for all j >= 0
f(i,0) = f(i-1, 0) + sum(k=1 to i-1, [1 if A[i] appears before A[k] in S])
f(i,j) = min(f(i-1, j) + sum(k=1 to i-1, [1 if A[i] appears before A[k] in S])
                       + sum(k=1 to j, [1 if A[i] appears before B[k] in S]),
             f(i, j-1) + sum(k=1 to i, [1 if B[j] appears before A[k] in S])
                       + sum(k=1 to j-1, [1 if B[j] appears before B[k] in S]))

我在这里使用符号

[1 if X]

表示值

1

，如果X为真，如果X为假

矩阵

f

可以在时间O（|A | ^2*|B | ^2）内构建。最小成本（反转次数w.r.t.S）为f（| A |，| B |）

我们也可以使用DP矩阵重建最佳排列：我们从后向前构建它。我们从元组（i，j）=（| A |，| B |）开始，在每一步，根据DP转换中两个选项中的哪一个最小，我们知道是否需要将A[i]或B[j]放在排列的前面。然后我们继续（i-1，j）或（i，j-1），这取决于我们选择哪个

，请原谅我缺乏JS技能。

这与：

<强>定理< /强>：考虑序列S＝S₁, …, sₙ 某些有序集（例如整数）的。如果i sⱼ, 然后交换sᵢ 和sⱼ 减少反转数，即，设S'=S₁, …, sᵢ₋₁, sⱼ, sᵢ₊₁, …, sⱼ₋₁, sᵢ, sⱼ₊₁, …, sₙ; 那么S'的倒数比S少

直观地说：如果两个元素的顺序不正确，并且您交换了它们，那么您就更接近于拥有一个排序列表了

证明：注意在S和S'中具有不同相对顺序的元素只有（Sᵢ, sⱼ), （s）ᵢ, sₖ) 及ⱼ, sₖ) 对于i 要么是sₖ < sⱼ < sᵢ 或sⱼ < sₖ < sᵢ 或sⱼ < sᵢ < sₖ （我们假设S的元素是唯一的）

在第一种情况下，（s）ᵢ, sₖ) 是S和（S）中的倒装ⱼ, sₖ) 在第二种情况下，（Sᵢ, sₖ) 及ⱼ, sₖ) 是S中的倒数，但不是S中的倒数。在第三种情况下，（Sⱼ, sₖ) 是S和（S）中的倒装ᵢ, sₖ). 这些都是反转的变化

在每种情况下，S'中的倒数要么与S中的倒数相同，要么更小ᵢ, sⱼ) 从S到S'得到了修正，我们得到了期望的结果。■

因此，如果我们有一个₁, Bᵢ, …, Bⱼ, A.₂ 一个接一个∈ S\U和每个b∈ U∩ S和a₁ > A.₂ 我们交换一个₁ 和₂, 得到₂, Bᵢ, …, Bⱼ, A.₁, 反转计数较低。因为这种交换只重新排列S\U的元素，而不是U的元素∩ S、 在U上具有零逆的任何解∩ S和（在此基础上）S\U上的最小反转数必须进行所有此类掉期

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因此：S\U的元素必须按顺序出现，因此解决方案是U的交错∩ S和S\U.

可能相关：您想用什么语言来实现这一点？@ivarpois:javascript请澄清这个问题。服务器是否也可以重新排序列，或者只是更改列集？因为在前一种情况下，您为什么要提到投票理论？如果只有一方有投票权，则无需进行投票