Algorithm 求解重复问题的替换法

首先，很抱歉问了这么一个基本的问题

但我在理解解决复发问题的替换方法时遇到了困难。我将介绍Algo.s-CLRS。因为我找不到足够的例子，歧义是主要的问题。特别是归纳步骤。在教科书中，我们必须证明f（n）意味着f（n+1），但在CLRS中，这一步骤缺失，或者可能我没有得到例子。请逐步说明如何证明O（n^2）是递推函数T（n）=T（n-1）+n的解

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我想了解的是替换法的一般步骤。如果你能对强大的数学归纳法有所了解，并提供到替代方法材料的链接，这也会很有帮助。

在替代方法中，只需将

T（k）

的任何出现替换为

T（k-1）+k

，然后迭代执行即可

T(n) = T(n-1) + n = 
= (T(n-2) + (n-1)) + n = 
= T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n = 
= ...  =
= 1 + 2 + ... + n-1 +  n

从中，可以得到T（n）在

O（n^2）

中

请注意，替代方法通常用于获得关于复杂性的直觉，以正式证明它-您可能需要不同的工具-例如

正式的证据将是这样的：

Claim: T(n) <= n^2
Base: T(1) = 1 <= 1^2
Hypothesis: the claim is true for each `k < n` for some `n`.
T(n) = T(n-1) + n <= (hypothesis) (n-1)^2 + n = n^2-2n + 1 < n^2 (for n > 1)

索赔：T（n）