Algorithm Matlab-最小二乘数据拟合-带额外约束的代价函数

我目前正在编写一些MatLab代码，按照中描述的方法将实验数据拟合成指数和

根据本文，数据必须遵循以下等式（以伪代码编写）：

这里

tau（i）

是一组

n

预定义常数。常数的数量还决定了求和的大小，从而决定了

v

的大小。例如，我们可以尝试拟合100个指数的总和，每个指数都有不同的

tau（i）

。然而，由于拟合和指数和的性质，我们需要为问题添加另一个约束，从而为所使用的最小二乘法的成本函数添加约束

通常，最小二乘法的成本函数由下式给出：

(y_data - sum(v(i)*exp(-x/tau(i)),i=1..n)^2

这必须最小化。然而，为了防止过度拟合，这会使时间常数频谱变得非常嘈杂，本文在成本函数中添加了以下约束：

|v(i) - v(i+1)|^2

由于这个额外的约束，据我所知，常规算法，如

lsqcurvefit

不再可用，我必须使用

fminsearch

来搜索带有约束的最小二乘代价函数的最小值。根据我的说法，必须最小化的功能如下：

(y_data - sum(v(i)*exp(-x/tau(i)),i=1..n)^2 + sum(|v(j) - v(j+1)|^2,j=1..n-1)

我尝试在MatLab中编写以下代码。最初，我们在函数脚本中定义函数，然后使用

fminsearch

实际最小化函数并获取

v

的值

function res = funcost( v )
%FUNCOST Definition of the function that has to be minimised

%We define a function yvalues with 2 exponentials with known time-constants
% so we know the result that should be given by minimising.
xvalues = linspace(0,50,10000);
yvalues = 3-2*exp(-xvalues/1)-exp(-xvalues/10);

%Definition of 30 equidistant point in the logarithmic scale  
terms = 30;
termsvector = [1:terms];
tau = termsvector;
for i = 1:terms
    tau(i) = 10^(-1+3/terms*i);
end

%Definition of the regular function
res_1 = 3;

for i=1:terms
    res_1 =res_1+ v(i).*exp(-xvalues./tau(i));
end

res_1 = res_1-yvalues;

%Added constraint
k=1;
res_2=0;

for i=1:terms-1
    res_2 = res_2 + (v(i)-v(i+1))^2;
end

res=sum(res_1.*res_1) + k*res_2;

end

fminsearch(@funcost,zeros(30,1),optimset('MaxFunEvals',1000000,'MaxIter',1000000))

---

但是，该代码给了我不准确的结果（没有错误，只是不准确的结果），这让我相信我在编码或解释最小二乘法的附加约束时犯了错误。

我将尝试以下方式引入附加约束：

res_2 = max((v(1:(end-1))-v(2:end)).^2);

e、 g.它不是最小化集成（汇总）错误，而是最小化最大值

也可以通过以下方式使此约束变硬：

if res_2 > some_number
    k = a_very_big_number;
else
    k=0; % or k = a_small_number
end;

---

我将尝试以以下方式引入附加约束：

res_2 = max((v(1:(end-1))-v(2:end)).^2);

e、 g.它不是最小化集成（汇总）错误，而是最小化最大值

也可以通过以下方式使此约束变硬：

if res_2 > some_number
    k = a_very_big_number;
else
    k=0; % or k = a_small_number
end;

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你怎么知道你得到的结果是不准确的？我现在使用的函数来生成x和y值，以适应，3-2*exp（-t）-exp（-t/10），对于tau=1和tau=10，应该产生增加的v振幅。然而，当我最小化这个函数和绘图（tau，v）时，情况并非如此。如果你没有在成本函数中添加额外的项，情况就是这样。此外，fminsearch是一个局部优化器，解决方案可能具有不同于全局最小值的局部最小值。注释掉额外的术语，并给出接近v（i=10）=-2和v（i=20）=-1的输入谢谢你的建议！可能是这样（局部最小值不同于全局最小值）！如果我把额外的术语注释掉，我会得到一个适合数据的解决方案。然而，时域振幅非常嘈杂（在某些情况下约为2000-4000），并且切换符号非常频繁。本文中也提到了这一点，即必须包括约束以防止出现这种情况。因为指数不构成正交基，我认为不会有唯一的解决方案，所以我认为需要约束。你怎么知道得到的结果不准确？我现在使用的函数生成x和y值，以适应，3-2*exp（-t）-exp（-t/10），对于tau=1和tau=10，应产生增加的v振幅。然而，当我最小化这个函数和绘图（tau，v）时，情况并非如此。如果你没有在成本函数中添加额外的项，情况就是这样。此外，fminsearch是一个局部优化器，解决方案可能具有不同于全局最小值的局部最小值。注释掉额外的术语，并给出接近v（i=10）=-2和v（i=20）=-1的输入谢谢你的建议！可能是这样（局部最小值不同于全局最小值）！如果我把额外的术语注释掉，我会得到一个适合数据的解决方案。然而，时域振幅非常嘈杂（在某些情况下约为2000-4000），并且切换符号非常频繁。本文中也提到了这一点，即必须包括约束以防止出现这种情况。因为指数不构成正交基，我相信不会有唯一的解，所以我认为需要约束。谢谢你的建议！我会尽快试用它（程序目前正在运行一些不同的值，所以不能马上试用）。如果有帮助，我会告诉你的！试过了！这很有帮助（代码速度更快，正如预期的那样，我在tau=10时得到了一个可见的峰值）。但是，1处的峰值几乎不可见，这也可能是由于在10^-2..10^0范围内，该点可见的点数较少。虽然拟合对于较低的时间常数也不是很好（例如，t=0时不为0），这可能是由于拟合的性质。感谢您的建议！我会尽快试用它（程序目前正在运行一些不同的值，所以不能马上试用）。如果有帮助，我会告诉你的！试过了！这很有帮助（代码速度更快，正如预期的那样，我在tau=10时得到了一个可见的峰值）。但是，1处的峰值几乎不可见，这也可能是由于在10^-2..10^0范围内，该点可见的点数较少。虽然拟合对于较低的时间常数也不是很好（例如，对于t=0，拟合不到0），这可能是由于拟合的性质。