Algorithm Collatz猜想相关访谈

这是一个采访问题，似乎与欧拉计划有关

Collatz猜想说，如果你做以下事情

If n is even, replace n by n/2.
If n is odd, replace n by 3n+1.

你最终会得到1

例如，

5->16->8->4->2->1

假设这个猜想是真的，每个数字都有一个链长：达到1所需的步数。（1的链长度为0）

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现在，问题是给定一个自然数n，m和一个自然数k，给出一个算法来找到1到n之间的所有数，这样这些数的链长度我想你可以通过反向运行这个过程在O（S）中解决这个问题。如果您知道k是什么，那么您可以使用以下逻辑构建最多在k个步骤中停止的所有数字：

• 1具有长度为0的链

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• 如果数字z的链长度为n，则2z的链长度为n+1

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• 如果一个数字z有一个长度为n的链，z-1是三的倍数（不是0或3），并且（z-1）/3是奇数，那么（z-1）/3有一个长度为n+1的链

由此，您可以开始按照从1开始的顺序建立数字：

                  1
                  |
                  2
                  |
                  4
                  |
                  8
                  |
                  16
                  | \
                  32 \
                  |   5
                  64  |
                 /|   10
                / 128 | \
               21     20 3

我们可以使用一个工作队列来实现这个算法，该队列存储我们需要访问的号码及其链的长度。我们用对（1，0）填充队列，然后连续地从队列中取出一个元素（z，n），并将（2z，n+1）和（可能）（z-1）/3，n+1）放入队列。这实际上是从一开始在Collatz图中进行广度优先搜索。当我们在深度k处找到第一个元素时，我们停止搜索

假设Collatz猜想成立，我们将永远不会以这种方式得到任何副本。此外，通过这种方式，我们将发现所有数字最多可以在k步内到达（您可以通过快速归纳证明快速检查）。最后，这需要O（S）时间。要了解这一点，请注意每个生成的数字所做的工作是一个常量（出列并在队列中插入最多两个新数字）

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希望这有帮助

我很好奇这个方法的空间复杂度。它最多是2^n，因为每个数字最多分支两次。我认为几乎不可能得到一个比这更好的界，因为它还没有确定这是否总是终止。“如果一个数字z有一个长度为n的链，z-1是三的倍数（不是0或1），那么（z-1）/3有一个长度为n+1的链。”-我认为这是不对的。在这种情况下，您应该在树中有一条从

4

到

1

的边，因为

4-1=3

@IVlad-但是4-1=3 x 1，所以不添加边。“除了零或一”我的意思是“3m代表m不等于零或一”。所以也许我应该说“不是零或三。”这更有意义：）。我把它读作“z-1而不是0或1”。