Algorithm 如何生成对序列进行代数编码的函数？

在给定序列的情况下，是否有方法生成函数F，例如：

seq = [1 2 4 3 0 5 4 2 6]

然后Fseq将返回生成该序列的函数？就是

F(seq)(0) = 1
F(seq)(1) = 2
F(seq)(2) = 4
... and so on

此外，如果是，那么复杂度最低的函数是什么，生成的函数的复杂度是多少

编辑 似乎我不清楚，所以我将尝试举例说明：

F(seq([1 3 5 7 9])} 
# returns something like:
F(x) = 1 + 2*x
# limited to the domain x ∈ [1 2 3 4 5]

换句话说，我想计算一个函数，它可以用于代数，使用数学函数，比如+，*，等等，恢复一个整数序列，即使你从内存中清除了它。我不知道这是否可能，但是，由于人们可以很容易地为这种函数编写一个简单情况下的近似值，我想知道它走了多远，是否有一些关于这方面的实际研究

编辑2回答另一个问题，我只对整数序列感兴趣-如果这很重要的话

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如果还不清楚，请告诉我

如果你说序列可能是完全随机的，那就没有什么神奇的了。然而，这总是可能的，但不会节省您的内存。在最坏的情况下，任何插值方法都需要相同的内存量。因为，如果不这样做，就有可能将所有内容压缩到一个位

另一方面，有时可以使用蛮力、一些启发式或数值方法来重现具有特定类型的某种数学表达式，但祝您好运：

只需使用一些存档工具，以节省内存使用

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我想这对你来说是很有用的：

如果你只想知道一个带+和*的函数，也就是说，一个多项式，你可以去维基百科查一下拉格朗日多项式。 它给出了编码序列的最低次多项式

不幸的是，您可能无法存储比以前更少的数据，因为多项式的阶数d=n-1的概率非常高，其中n是数组的大小，随机整数非常多。 此外，您必须存储有理数而不是整数。 最后，与使用数组的O1相比，使用Horner算法进行多项式求值，可以在Od中访问任意数量的数组

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尽管如此，如果您知道序列可能非常简单且非常长，这可能是一种选择。

如果序列来自一个低阶多项式，则使用一种简单的方法来查找生成序列的唯一多项式。构造n个数的多项式具有On²的时间复杂度，而计算它具有On²的时间复杂度

在牛顿级数中，多项式表示为x，xx-1，xx-1x-2等，而不是更常见的x，x²，x³。为了得到系数，基本上你要计算序列中后续项之间的差值，然后计算差值之间的差值，直到只剩下一个或者得到一个全零的序列。从底部得到的数字除以项的阶数，得到系数。例如，对于第一个序列，您会得到以下差异：

1  2  4  3  0  5   4   2    6
   1  2 -1 -3  5  -1  -2    4 
      1 -3 -2  8  -6  -1    6
        -4  1 10 -14   5    7
            5  9 -24  19    2
               4 -33  43  -17
                 -37  76  -60
                     113 -136
                         -249

因此，生成该序列的多项式为：

f(x) = 1 + x(1 + (x-1)(1/2 + (x-2)(-4/6 + (x-3)(5/24 + (x-4)(4/120 
         + (x-5)(-37/720 + (x-6)(113/5040 + (x-7)(-249/40320))))))))

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它与使用其他技术得到的多项式相同，比如拉格朗日插值；这是生成它的最简单的方法，因为你可以得到多项式形式的系数，可以用霍纳的方法计算，不像拉格朗日形式

Fseq{return seq；}？从代数角度讲，我的意思是函数将由数学运算组成，如+、-、*，等等。换句话说，您可以从内存中释放原始seq。floor624503421/10^k%10Ok，所以你想插值一个函数，其中x值是序列0..N-1的索引，相应的y值是序列的项。检查一些线性插值程序。