Algorithm θ中从1到n的和（对数n）

有没有办法计算θ（logn）中1到n的和

当然，最明显的方法是sum=n*（n+1）/2

然而，为了练习，我想计算θ（logn）

比如说,

sum=0; for(int i=1; i<=n; i++) { sum += i}

sum=0；对于（inti=1；ifairway（不使用数学公式）来说，假设所有n个值直接求和，因此无法避免O（n）行为

如果你想用一些“强”人工< /强>方法来提供精确的O（log（n））时间，考虑例如使用两个幂（知道<代码>和（1…2 ^ k＝2 ^（k-1）+2 ^（2×k-1）< /代码> -例如，代码>求和（8）＝4＋32＜/代码>）。Pseudocode：
function Sum(n)
   if n < 2 
       return n
   p = 1     //2^(k-1)
   p2 = 2    //2^(2*k-1)
   while p * 4 < n:
      p = p * 2;
      p2 = p2 * 4;
   return p + p2 +                    ///sum of 1..2^k
         2 * p * (n - 2 * p) +        ///(n - 2 * p) summands over 2^k include 2^k
         Sum(n - 2 * p)               ///sum of the rest over 2^k

Sum(7) = Sum(4) + 5 + 6 + 7 = 
         Sum(4) + (4 + 1) + (4 + 2) + (4 + 3) = 
         Sum(4) + 3 * 4 + Sum(3) = 
         Sum(4) + 3 * 4 + Sum(2) + 1 * 2 + Sum(1) = 
         Sum(4) + 3 * 4 + Sum(2) + 1 * 2 + Sum(1) = 
         2 + 8  +   12   + 1 + 2 +   2 +     1 = 28