Algorithm 计算形成字符串连续子串的有序且可能不连续的子串的数量

假设S（N）是长度为N的字符串“012…”，其中“012”重复，直到有N个字符

对于任意给定的N，通过按顺序从字符串中选择可能不连续的字母，计算形成连续子字符串的方式的数量

例如，对于N=5，我们有S（N）=“01201”

连续子字符串和计数：

'0', 2
'1', 2
'2', 1
'01', 3 (the two consecutive '01' along with the first and last character of '01201').
'12', 1
'20', 1
'012', 1
'120', 1
'201', 1
'0120', 1
'1201', 1
'01201', 1

Total: 16

对于任意N，我们如何有效地计算它？我将发布我的最佳答案作为解决方案

请注意，这个问题最初来自Cococino223，但措词不当，在修复之前就被删除了。

假设f（n）是n的计数，f（n，k）是{0,1,2}中以k代表k结尾的子字符串中的n的计数

N  f(n, 0)  f(n, 1)  f(n, 2)  f(n)
0       0        0        0     0      
1       1        0        0     1      
2       1        2        0     3      
3       1        2        3     6      
4       5        2        3    10       
5       5        8        3    16       
6       5        8       12    25        
7      18        8       12    38        
8      18       27       12    57          
9      18       27       40    85          
10     59       27       40    126           
11     59       87       40    186

方法：f（n，k）只有在第n个字符串以k结尾时才改变。在这种情况下：

f(n, k) = f(n-1, k) + f(n-1, k') + 1
Where k' is the predecessor of k in '012' with wraparound.

E.g., f(6,2) = 12 = f(5,2) + f(5,1) + 1

这里的直觉是，我们有所有以k结尾的方式，它们不使用最新的字母（f（n-1，k）），所有使用最新的k的方式，它们必须等于在序列中使用前一个字母的所有方式，在末尾加上k（f（n-1，k'），再加上一个新的k（+1）

这是线性时间，恒定的记忆

--更新——如果你读到了变化的数字：1，2，3，5，8，12，18，27，40，59，87，128，188，276，405，594，871，这是

--更新--

调用M上面的平方矩阵，然后我们可以用M来计算k的连续值。例如，[12,18,27,1]*M=[18,27,40,1]

我们可以通过反复平方矩阵，在对数时间内用它来求解f（n）

E.g. M^8 = [4,   6,  9, 0]
           [3,   4,  6, 0]
           [6,   9, 13, 0]
           [12, 18, 27, 1]

[0, 0, 0, 1] * M^8 = [12, 18, 27, 1]
12 + 18 + 27 = 57 = f(8)

f（n）是M^n最下面一行的前三个元素之和

---

所以f（n）可以在对数时间内计算，但因为矩阵mult相当昂贵，这只对相对较大的n有意义。请注意，这适用于不是2的幂的数字，方法是将适当的2的幂的矩阵相乘。例如，13=1101，所以我们乘（M^1）（M^4）（M^8）。

我想知道重复的矩阵平方法是否可以将其降到对数时间（类似于斐波那契）。

E.g. M^8 = [4,   6,  9, 0]
           [3,   4,  6, 0]
           [6,   9, 13, 0]
           [12, 18, 27, 1]

[0, 0, 0, 1] * M^8 = [12, 18, 27, 1]
12 + 18 + 27 = 57 = f(8)