Algorithm 从带有“的图形构建MST”；“很少”；线性时间中的边

我参加了一次面试，面试官问了我一个问题：

我们有一个图G（V，E），我们可以使用prim算法或kruskal算法找到MST。但是这些算法没有考虑到G中的“很少”边。我们如何利用这些信息来提高查找MST的时间复杂度？我们能在线性时间内找到MST吗

我唯一记得的是Kruskal的算法在稀疏图中更快，而Prim的算法在真正稠密的图中更快。但我无法回答他如何利用关于边数的先验知识在线性时间内进行MST

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任何见解或解决方案都将不胜感激。

Kruskal的算法在对边缘进行排序后几乎是线性的。如果使用并集查找结构（如处理单条边的复杂性），则其顺序为lg*（n），其中n是顶点数，且该函数增长非常缓慢，因此在这种情况下可以将其视为常数。但是，问题是要对边进行排序，仍然需要一个

O（m*log（m））

。其中

m

是边数

Prim的算法将无法利用边缘很少这一事实

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您可以使用的一种方法类似于“反向”MST方法，即从所有边开始，删除最长的边，直到图形断开连接。继续这样做，直到只剩下

n-1

边。仍然需要注意的是，只有当要删除的边数

k

足够少，以至于

k*n

对“很少”有明确的含义时，这才比Kruskal好？也许

| E |=O（| V |）

？也许

| E |=| V |+O（1）

？实际上没有。我问了，但他什么也没说。这个问题是CLRS问题23-2“稀疏图上的最小生成树”的主题。谢谢！是的，这很有道理。在删除一条边后，你能解释一下如何使用不相交集数据结构来判断图形是否连通吗。@premktiw我认为你不能使用不相交集来实现这一点，至少我想不出一种从我的头顶上看的方法。不过，在这种情况下，检查并不需要恒定的复杂性。我的假设是我们做一个线性检查来找到最长的边，所以我们也可以做一个线性检查来检查连通性