Algorithm 算法方法-在网格中找到最佳路径

问题：有一个mxn网格（0你的问题称为a

当您达到（x，y）时，您可以拥有的最多硬币数量如下：

coins(x,y) = max(coins(x-1,y), coins(x,y-1)) + change

这是一个问题，可以通过使用递归和记忆来提高性能，也可以通过使用迭代算法来解决

迭代算法是一次遍历一条对角线。从0,0开始。然后计算0,1和1,0。然后计算0,2和1,1和2,0。等等

步骤1：

 0,  ?,  ?,  ?
 ?,  ?,  ?,  ?
 ?,  ?,  ?,  ?
 ?,  ?,  ?,  ?

步骤2：

 0, 23,  ?,  ?
13,  ?,  ?,  ?
 ?,  ?,  ?,  ?
 ?,  ?,  ?,  ?

步骤3：

 0, 23,-33,  ?
13, 37,  ?,  ?   // 37 because of max(23,13) + 14
36,  ?,  ?,  ?
 ?,  ?,  ?,  ?

等等

---

当您完成此过程时，答案是右下角的数字。

您的问题可以描述为a，因此可以由解决

转变如下：

• 删除负节点并从相邻单元中减去它们的数量
• 0/0将是源，m-1，n-1将是接收器
• 每个节点连接到下方和右侧的节点，弧的容量等于其目标节点的值
• 现在，最大流量等于您可以拥有的最大硬币数量

可能有更简单的解决办法，这只是我想到的第一件事

编辑：正如dasblinkenlight在评论中指出的那样，这是行不通的，因为流实际上是多条路径的组合，这当然不是我们想要的

我认为这个程序不能用动态规划来解决

为什么不呢？这是动态规划方法的主要候选者

简单的递归方法是我唯一能想到的，在给定的约束条件下，这种方法效率太低

你能建立一个递归的解决方案来解决，比如说，一个5x5网格吗？太好了！从这个开始，然后为你已经解决的单元格添加一个

MxN

最佳结果数组。用所有大的负值启动该数组，然后在你找到一个比已经解决的更好的解决方案时更新它。一旦你已经解决了使用完单元格后，将解决方案放入

MxN

数组：下次递归时，检查数组中是否有数字，如果有值，则返回该值而不继续递归

记忆解决方案本身相当简单，算法的预处理步骤（从相邻单元格中减去负数）需要更多的代码

int solve(int r, int c) {
    if(memo[r][c] != MIN) {
        return memo[r][c];
    }
    int res = grid[r][c];
    int a = 0, b = 0;
    if (r+1 != R) {
        a = solve(r+1, c);
    }
    if (c+1 != C) {
        b = solve(r, c+1);
    }
    res = max(res+a, res+b);
    return memo[r][c] = res;
}

---

这是打开的解决方案，它按预期返回

129

。

有趣的问题。这是一个家庭作业问题吗？如果是，您需要将其标记为家庭作业。该问题仍将由社区进行评估。这不是家庭作业问题。我正在经历codechef的一个编程竞赛问题，我遇到了这个问题。我在连续两天都无法解决问题，但无法提出好的解决方案：-（如果你一开始就有网格的内容，这是一个带有加权边的图形生成问题。如果你移动到一个与多个强盗相邻的正方形，他们是否都拿走了你的一些硬币？你当前拥有的硬币数量会变为负数，还是会停止在0？找出最大流量是我遇到的问题。看就像我需要的算法一样。谢谢！我认为在这种情况下，流不会起作用，因为Ford Fulkerson会为您找到一条最佳路径，您可以在多条有效路径上同时收集硬币。例如，算法可能会将一部分流发送到右侧，如果剩余的流流网络将支持它，并且生成的流是最大的，但这与问题中的约束条件相反（您可以向右走，也可以向下走，但不能同时向右走和向下走）。是的，如果那样的话，它就不起作用了。不过我还是要检查一下那个算法。@dasblinkenlight:你当然是对的……我写那篇文章的时候很累；）一般来说，当有一个网格和多个查询时，记忆就起作用了（所以你不必再计算相同的东西）。这里只有一个查询。这就是我认为记忆化不起作用的原因。@Rushil这是错误的：当DP工作时，记忆化几乎在任何时候都能工作。你也会收到多个查询：它们来自你自己解决方案的递归调用。@Rushil特别是，简单的递归解决方案工作得不够快，因为它解决不了问题他一次又一次地解决同样的问题。通过计算一个解并存储它，你可以得到时间复杂度为O（M*N）。好吧，我得考虑一下。从m-1，n-1开始——将网格划分为多个阶段，并找出每个阶段每个单元要做出的最佳决策，我想这就是你所说的解决方案。我也这么想，但认为它行不通！我将尝试这个解决方案，并告诉你它是否被接受。谢谢

int solve(int r, int c) {
    if(memo[r][c] != MIN) {
        return memo[r][c];
    }
    int res = grid[r][c];
    int a = 0, b = 0;
    if (r+1 != R) {
        a = solve(r+1, c);
    }
    if (c+1 != C) {
        b = solve(r, c+1);
    }
    res = max(res+a, res+b);
    return memo[r][c] = res;
}