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Algorithm 不属于集合的等概率样本数

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Algorithm 不属于集合的等概率样本数,algorithm,probability,Algorithm,Probability,我有一个数字n和一组数字S∈ [1..n]*大小s（大大小于n）。我想取样一个数字k∈ [1..n]概率相等，但不允许该数字出现在集合S中 我正在尝试用最坏的O（logn+s）解决这个问题。我不确定这是否可能 一种简单的方法是创建一个从1到n的数字数组，排除S中的所有数字，然后选择一个数组元素。这将在O（n）中运行，不是一个选项 另一种方法可能只是生成随机数∈[1..n]并拒绝包含在S中的内容。这没有理论界限，因为任何数字即使在集合中也可以多次采样。但是，如果s比n小得多，那么平均而言，这可能是

我有一个数字
n
和一组数字
S∈ [1..n]*
大小
s
（大大小于
n
）。我想取样一个数字
k∈ [1..n]
概率相等，但不允许该数字出现在集合
S
中

我正在尝试用最坏的
O（logn+s）
解决这个问题。我不确定这是否可能

一种简单的方法是创建一个从1到n的数字数组，排除
S
中的所有数字，然后选择一个数组元素。这将在
O（n）
中运行，不是一个选项

另一种方法可能只是生成随机数
∈[1..n]
并拒绝包含在
S
中的内容。这没有理论界限，因为任何数字即使在集合中也可以多次采样。但是，如果
s
比
n
小得多，那么平均而言，这可能是一个实用的解决方案。生成一个介于1和n-s之间的随机数，称之为k。我们选择了{1，…，n}-s的第k个元素。现在我们需要找到它

在s上使用二进制搜索查找s元素的计数实际上，拒绝方法似乎是一种实用的方法。 在
1…n
中生成一个数字，检查是否禁止；重新生成，直到生成的编号不被禁止

单个拒绝的概率为
p=s/n
。 因此，预期的随机数生成数是
1+p+p^2+p^3+…
1/（1-p）
，这反过来等于
n/（n-s）

现在，如果
s
远小于
n
，或者甚至大于
s=n/2
，则该预期数字最多为
2
。 要使它在实践中不可行，需要
s
几乎等于
n

如果使用树集合检查数字是否在集合中，则将预期时间乘以
log s
，如果是哈希集合，则仅乘以
1
（再次乘以预期值）。因此，平均时间是
O（1）
或
O（logs）
，具体取决于设置的实现。还有存储集合的
O（s）
内存，但除非集合以某种特殊的方式隐式和简洁地给出，否则我看不出如何避免它

（编辑：根据注释，对于给定集，您只需执行一次。 此外，如果我们运气不好，并且集合是以普通数组或列表的形式给出的，而不是一些更奇特的数据结构，那么使用这种方法我们可以得到
O（s）
预期时间，这仍然符合
O（log n+s）
的要求。）

如果对无界算法的攻击是一个问题（并且只有在它们确实存在的情况下），那么该方法可以包括一个回退算法，用于某些固定次数的迭代无法提供答案的情况。 与快速排序类似，但如果递归深度太高（这几乎肯定是导致二次快速排序行为的攻击的结果），则返回HeapSort

  • 查找禁止集合中小于或等于n-s的所有数字。称之为数组A
  • 查找不在禁止集合中且大于
    n-s
    的所有数字。称之为数组B。如果集合已排序，则可以在O（s）中完成
  • 请注意，A和B的长度相等，并创建映射
    map[A[i]]=B[i]
  • 生成编号
    t
    至
    n-s
    。如果有
    map[t]
    返回它，否则返回
    t
    • 它将在
    O（s）
    插入到map+1查找中工作，这是一个平均值为O（s）或
    O（s日志s）
    这是一个O（1）解决方案，带有O（s）初始设置，通过将每个不允许的数字>s映射到允许的数字很好的问题-我同意，我认为这是不可能的（尽管我很想看到一个解决方案）。迭代方法是一个很好的折衷方案，因为在随机数出现在集合中的概率变得非常小（即使
    s
    比
    n
    小不了多少）之前，你不需要多次迭代来选取随机数。随机数非常便宜，因为您不需要加密强度高的数或任何东西，而且您的查找是
    O（1）
    ，因此它应该是高效的。您可以随时使用
    O（n）进行“回退”
    如果您生成的数字超过100个，请选择该方法。您对单个数字的成本感兴趣还是对多个数字的平均成本感兴趣？例如，生成一个可重复使用的数据结构的成本是多少？他说，最坏的情况是OP说他想要一个比O（log N+S）更好的解决方案，并不是说他对最坏情况的性能感兴趣。显然，他不仅仅对最坏情况的性能感兴趣，否则将不考虑随机拉斯维加斯算法，因为它的最坏情况是无界的。@TrentP我对最坏情况感兴趣。只有在我找不到更好的解决方案时才会考虑随机算法，我对此不满意不幸的是，我也不能分摊成本，因为我只需要为每一组选择一个样本（但对其他组经常重复）。这是一个很好的方法（而且
    O（s）
    ，即使没有为清晰起见编辑的假设
    |s |@hnefatl。我提到sdef substitute(S):
    H = dict()
    j = 1
    for s in S:
        if s > len(S):
            while j in S: j += 1
            H[s] = j
            j += 1
    return H

    def myrand(n, s, H):
    k = random.randint(s + 1, n)
    return (H[k] if k in H else k)

    def rand_not_in(n, S):
    k = random.randint(len(S) + 1, n);
    if k not in S: return k
    j = 1
    for s in S:
        if s > len(S):
            while j in S: j += 1
            if s == k: return j
            j += 1