Algorithm 范围内的快速位计数

我需要找到解决这个问题的算法：
查找[x，y]范围内数字中所有正位的总和。
警告：x和y可能非常大（从1到10^20）。

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感谢您的帮助。

看一个具体的例子来识别模式可能会有所启发。例如，20到25岁。以下是它们的二进制表示：

20: 10100
21: 10101
22: 10110
23: 10111
24: 11000
25: 11001

按列查看，很明显，最右边的列总是在0和1之间交替。 由此我们可以得出结论，如果范围中有N个数字，且N为偶数，则最右边的列中有N/2位。 现在忽略最右边的列，并尝试在剩余的位中识别模式

1010
1010
1011
1011
1100
1100

列表中的每个数字只重复一次。 转换为十进制，我们看到这些数字是

1010=10

，

1011=11

，

1100=12

。 通过这两个观察，我们可以得出结论：

bitsInRange（20,25）=（27-20-1）+2*bitsInRange（10,12）

。对于任意偶数开始数和奇数结束数，我们确定的两种模式均为真，因此公式可推广为：

bitsInRange(X,Y) =
if X is even and Y is odd:
    (Y - X - 1) + 2*bitsInRange(X/2, (Y-1)/2)

但是如果我们有一个奇数的开始数，或者一个偶数的结束数呢？上述公式不适用于这些类型的数字，因为我们确定的两种模式对于这些类型的数字并不完全相同。你可以尝试为偶数和奇数的每一个可能的组合编写单独的公式，但这种方法是危险的，而且充满了风险。如果您充分利用这些关键特性，您将更轻松：

bitsInRange(X, Y) = bitsInRange(X, Y-1) + numBits(Y)
bitsInRange(X, Y) = bitsInRange(X+1, Y) + numBits(X)

。。。其中

numBits

给出单个数字中

1

位的数量

现在我们可以为偶数和奇数范围的每个可能组合编写一个递归公式。（顺便说一下，我们还需要一个基本案例）

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因为最后一个案例将问题空间分成了一半，而所有其他案例都将问题快速转化为最后一个案例，所以整个公式具有对数复杂性。如果您试图获得像[1，10^20]这样的大范围的位，这是很好的。即使是这样的大数字，

bitsInRange

也只能运行大约200次。

提示：在最右边的位置找到“1”位的数量。这是家庭作业吗？你已经试过什么了？问题的哪一方面你被卡住了？可能是重复的我有一些野蛮版本的算法。我对每个元素使用uuu builtinpop_count（），并将其添加到sum变量中。这个问题相当于上所述的问题（我刚才回答：-）

function bitsInRange(X,Y):
    if X == Y:
        return numBits(X)
    if X is odd:
        return bitsInRange(X+1, Y) + numBits(X)
    if Y is even:
        return bitsInRange(X, Y-1) + numBits(Y)
    return (Y - X - 1) + 2*bitsInRange(X/2, (Y-1)/2)