Algorithm 查找连接所有节点的最短路径集

我在二维坐标空间中有一组点

我想找到一组路径，它们以最短的总长度连接在一起。启发式解决方案好的，不需要精确

这听起来像是旅行推销员的问题，但情况不同。我不是在寻找一个只访问一次每个点的循环。我只需要将每个点连接到至少一个其他点，这样集合中的所有点至少间接地彼此连接，所选连接的长度之和最小化。因此，最小化连接长度之和应该是非循环的

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一个简单的最近邻算法，即将每个点连接到其尚未连接到的最近邻点，是不起作用的，因为彼此相距较远的小簇最终将被隔离，并且您将始终创建循环。

如果我正确理解您的问题，你要找的是一个最小生成树，通常缩写为MST。MST只是路径的子集

a连接所有点， b的总长度尽可能最小，并且 c没有循环。 有几种著名的算法可以找到MST，比如Prim的算法和Kruskal的算法——我将带你参观Kruskal的算法，我个人认为这是最直观的。如果你感兴趣，你应该能够在网上或算法教科书中找到其他算法

Kruskal从按长度对各个路径进行排序开始。使用该列表，我们可以通过重复以下过程创建MST，直到所有点/顶点都包含在树中：

考虑列表中的最短路径。 如果它会在你的MST中创建一个循环，不要将其添加到树中，只需将其从列表中删除即可。 否则，将其添加到树中并从列表中删除。 最终，你会得到一棵

a连接所有点-由于考虑了每条路径，因此符合MST条件的每个顶点必须位于一条路径上，并且添加一条路径以到达先前未连接的顶点不能创建循环； b具有可能的最低总长度-保证，因为路径是按升序长度添加的；和 c没有循环保证，因为算法明确避免了这一点。 注:

1在处理MST和其他图问题时，我们通常用特定的名称来称呼零件：点集是“图”，特定的点或节点是“顶点”，顶点之间的路径是“边”，边的长度是“权重”

2 Kruskal的算法在OElogV时间内运行，其中E是路径/边的数量，V是点/顶点的数量

3如果图形中有任何顶点或顶点集与数据集的其余部分断开连接，则最终会在“MST林”中出现多个MST

4一个图可以有多个MST；例如，在中，MST的最小长度为6-这由以下两个MST实现：

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5确定添加路径是否会创建循环实际上是一件棘手的事情；其中一种方法是使用UnionFind数据结构，您可以使用它

您描述的问题听起来像Kruskal的算法：

Kruskal算法是一种最小生成树算法 连接任意两棵树的可能最小权重的边 这是图论中的一个贪婪算法，因为它能找到一个 连通加权图的最小生成树 每个步骤的成本弧。这意味着它会找到边的子集 这形成了一个包含每个顶点的树，其中总权重 将最小化树中所有边的最大值。如果图形不是 连接，然后它找到一个最小生成林一个最小生成林 每个连接组件的树

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Kruskal时间复杂度最坏的情况是OE log E，这是因为我们需要对边进行排序。基本时间复杂度最坏的情况是使用优先级队列的OE log V，甚至更好，使用Fibonacci堆的OE+V log V。当图形稀疏时，即当边已经排序或我们可以在线性时间内对它们排序时，应使用Kruskal，即少量边，如e=OV。当图是稠密的，即边的数目很高时，我们应该使用Prim，如e=OV²

如其他人所指出的，您需要建立一个MST。但是，如果您想从MST的所有点对中选择潜在的边，那么最终将需要处理大量的边，这将破坏运行时和内存

从任何一点开始，将其连接到不产生循环的最近邻点，并重复此步骤，直到所有东西都连接起来，可能会更快

这是构建最小生成树的另一种更不常见的方法，在应用程序中应该更快

如果你愿意，我可以试着 证明我刚才提出的算法

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如果您的问题得到不同的解决方案，请注意，MST不一定是唯一的，可能有多个最佳解决方案。

听起来您在描述MST问题。啊，是的，听起来像。可能还相关：Steiner树问题多少点？