Algorithm 如何找到具有线性约束的求和（xi）=b的所有整数解

假设sum（xi）=10，0您正在寻找数字100的排列，其中每个整数分区

• 最多10个部件；及
• 每个零件最多15个

当然有很多案例，但是有10个！其中大部分仍由计算机管理

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编辑：OP编辑了这个问题，所以：数字10应该分成最多10个部分的整数分区，每个部分最多2个。

您正在寻找数字100的排列，其中每个整数分区都有

• 最多10个部件；及
• 每个零件最多15个

当然有很多案例，但是有10个！其中大部分仍由计算机管理

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编辑：OP编辑了这个问题，所以：数字10应该被分解成最多10个部分的整数分区，每个部分最多2个。

如果你真的想得到所有的解决方案：递归地枚举所有可能的变量赋值，并进行一些优化：

最后一个变量的值可以从sum约束计算出来

当您看到部分赋值不能再导致有效的解决方案时（例如，如果总和已经大于10，或者如果剩下的变量太少，无法达到10的总和），可以删减搜索

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如果您真的想拥有所有解决方案：通过一些优化递归枚举所有可能的变量赋值：

最后一个变量的值可以从sum约束计算出来

当您看到部分赋值不能再导致有效的解决方案时（例如，如果总和已经大于10，或者如果剩下的变量太少，无法达到10的总和），可以删减搜索

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递归是最好的。以下是带有生成器的自然Python解决方案：

def solutions(variables, sum_left, max_value):
    if 0 == variables:
        if 0 == sum_left:
            yield []
    else:
        for i in range(0, max_value + 1):
            if sum_left < i:
                break
            else:
                for partial_solution in solutions(variables - 1, sum_left - i,
                                                  max_value):
                    yield [i] + partial_solution

for x in solutions(10, 10, 2):
    print(x)

def解决方案（变量、左和、最大值）：
如果0==变量：
如果0==左和_：
收益率[]
其他：
对于范围内的i（0，最大值+1）：
如果sum_左

生成器的好处是，您不必首先在内存中构建长列表。这里有一个替代解决方案，它不使用生成器，也避免了建立列表

def do_something_for_solutions(variables, sum_left, max_value, known=None):
    if known is None:
        known = []
    if 0 == variables:
        if 0 == sum_left:
            do_something(known)
    else:
        for i in range(0, max_value + 1):
            if sum_left < i:
                break
            else:
                do_something_for_solutions(variables - 1, sum_left - i,
                                           max_value, known + [i])

def do_something(solution):
    print(solution)

do_something_for_solutions(10, 10, 2)

def do_something_for_解决方案（变量、左和、最大值、已知=无）：
如果已知为无：
已知=[]
如果0==变量：
如果0==左和_：
做点什么（已知的）
其他：
对于范围内的i（0，最大值+1）：
如果sum_左

如果您选择返回解决方案，可以按如下方式返回：

def solutions(variables, sum_left, max_value):
    if 0 == variables:
        if 0 == sum_left:
            return [[]]
        else:
            return []
    else:
        answer = []
        for i in range(0, max_value + 1):
            if sum_left < i:
                break
            else:
                for partial_solution in solutions(variables - 1, sum_left - i,
                                                  max_value):
                    answer.append([i] + partial_solution)
        return answer

for x in solutions(10, 10, 2):
    print(x)

def解决方案（变量、左和、最大值）：
如果0==变量：
如果0==左和_：
返回[]]
其他：
返回[]
其他：
答案=[]
对于范围内的i（0，最大值+1）：
如果sum_左

---

（请注意，如果更改参数，该列表很容易变得庞大……

递归是最好的。以下是带有生成器的自然Python解决方案：

def solutions(variables, sum_left, max_value):
    if 0 == variables:
        if 0 == sum_left:
            yield []
    else:
        for i in range(0, max_value + 1):
            if sum_left < i:
                break
            else:
                for partial_solution in solutions(variables - 1, sum_left - i,
                                                  max_value):
                    yield [i] + partial_solution

for x in solutions(10, 10, 2):
    print(x)

def解决方案（变量、左和、最大值）：
如果0==变量：
如果0==左和_：
收益率[]
其他：
对于范围内的i（0，最大值+1）：
如果sum_左

生成器的好处是，您不必首先在内存中构建长列表。这里有一个替代解决方案，它不使用生成器，也避免了建立列表

def do_something_for_solutions(variables, sum_left, max_value, known=None):
    if known is None:
        known = []
    if 0 == variables:
        if 0 == sum_left:
            do_something(known)
    else:
        for i in range(0, max_value + 1):
            if sum_left < i:
                break
            else:
                do_something_for_solutions(variables - 1, sum_left - i,
                                           max_value, known + [i])

def do_something(solution):
    print(solution)

do_something_for_solutions(10, 10, 2)

def do_something_for_解决方案（变量、左和、最大值、已知=无）：
如果已知为无：
已知=[]
如果0==变量：
如果0==左和_：
做点什么（已知的）
其他：
对于范围内的i（0，最大值+1）：
如果sum_左

如果您选择返回解决方案，可以按如下方式返回：

def solutions(variables, sum_left, max_value):
    if 0 == variables:
        if 0 == sum_left:
            return [[]]
        else:
            return []
    else:
        answer = []
        for i in range(0, max_value + 1):
            if sum_left < i:
                break
            else:
                for partial_solution in solutions(variables - 1, sum_left - i,
                                                  max_value):
                    answer.append([i] + partial_solution)
        return answer

for x in solutions(10, 10, 2):
    print(x)

def解决方案（变量、左和、最大值）：
如果0==变量：
如果0==左和_：
返回[]]
其他：
返回[]
其他：
答案=[]
对于范围内的i（0，最大值+1）：
如果sum_左

---

（请注意，如果您更改参数，该列表很容易变得庞大……

示例中有太多解决方案，因此将它们全部列出是非常困难的