Algorithm 核密度估计

我正在尝试实现一个内核密度估计。然而，我的代码没有提供它应该提供的答案。它也是用julia编写的，但是代码应该是自解释的

以下是算法：

在哪里

因此，该算法测试x与某个观测值x_i之间的距离是否小于1，该观测值由某个常数因子（binwidth）加权。如果是这样，它为该值赋值0.5/（n*h），其中n=观测值

以下是我的实现：

#Kernel density function.
#Purpose: estimate the probability density function (pdf)
#of given observations
#@param data: observations for which the pdf should be estimated
#@return: returns an array with the estimated densities 

function kernelDensity(data)
|   
|   #Uniform kernel function. 
|   #@param x: Current x value
|   #@param X_i: x value of observation i
|   #@param width: binwidth
|   #@return: Returns 1 if the absolute distance from
|   #x(current) to x(observation) weighted by the binwidth
|   #is less then 1. Else it returns 0.
|  
|   function uniformKernel(x, observation, width)
|   |   u = ( x - observation ) / width
|   |   abs ( u ) <= 1 ? 1 : 0
|   end
|
|   #number of observations in the data set 
|   n = length(data)
|
|   #binwidth (set arbitraily to 0.1
|   h = 0.1 
|   
|   #vector that stored the pdf
|   res = zeros( Real, n )
|   
|   #counter variable for the loop 
|   counter = 0
|
|   #lower and upper limit of the x axis
|   start = floor(minimum(data))
|   stop = ceil (maximum(data))
|
|   #main loop
|   #@linspace: divides the space from start to stop in n
|   #equally spaced intervalls
|   for x in linspace(start, stop, n) 
|   |   counter += 1
|   |   for observation in data
|   |   |
|   |   |   #count all observations for which the kernel
|   |   |   #returns 1 and mult by 0.5 because the
|   |   |   #kernel computed the absolute difference which can be
|   |   |   #either positive or negative
|   |   |   res[counter] += 0.5 * uniformKernel(x, observation, h)
|   |   end
|   |   #devide by n times h
|   |   res[counter] /= n * h
|   end
|   #return results
|   res
end
#run function
#@rand: generates 10 uniform random numbers between 0 and 1
kernelDensity(rand(10))

其和为：8.5（累积分布函数应为1。）

因此有两个bug：

这些值未正确缩放。每个数字应该是当前值的十分之一左右。事实上，如果观察次数增加10^n=1，2。。。然后cdf也会增加10^n

例如：

> kernelDensity(rand(1000))
> 953.53 

它们的总和不等于10（如果不是因为缩放错误，也不等于1）。随着样本量的增加，误差变得更加明显：约有5%的观察结果未包括在内

---

我相信我实现了公式1:1，因此我真的不知道错误在哪里。

我不是KDE方面的专家，所以请恕我直言，但代码的一个非常类似（但要快得多！）的实现是：

function kernelDensity{T<:AbstractFloat}(data::Vector{T}, h::T)
  res = similar(data)
  lb = minimum(data); ub = maximum(data)
  for (i,x) in enumerate(linspace(lb, ub, size(data,1)))
    for obs in data
      res[i] += abs((obs-x)/h) <= 1. ? 0.5 : 0.
    end
    res[i] /= (n*h)
 end
 sum(res)
end

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函数kernelDensity{T指出错误：您有n个大小为2h的bins B_i，覆盖[0,1]，一个随机点X落在预期数量的bins中。您除以2N h

对于n个点，函数的预期值为

实际上，您有一些大小小于2h的箱子（例如，如果start=0，则第一个箱子的一半在[0,1]之外），将其考虑在内会产生偏差

编辑：顺便说一句，如果你假设箱子在[0,1]中有随机位置，那么偏差很容易计算。然后箱子平均缺少h/2=其大小的5%。
谢谢你，代码和库都没有找到。是的，你是对的！没有考虑前半部分。
function kernelDensity{T<:AbstractFloat}(data::Vector{T}, h::T)
  res = similar(data)
  lb = minimum(data); ub = maximum(data)
  for (i,x) in enumerate(linspace(lb, ub, size(data,1)))
    for obs in data
      res[i] += abs((obs-x)/h) <= 1. ? 0.5 : 0.
    end
    res[i] /= (n*h)
 end
 sum(res)
end