Algorithm 贪婪最大流

用餐问题：
几个家庭一起出去吃饭。为了增加他们的社会交往，他们喜欢坐在桌子旁，这样同一个家庭的两个成员就不会坐在同一张桌子上了。假设晚餐特遣队有

p

家庭，而

i

th家庭有

a（i）

成员。此外，假设有可用的

q

桌子，并且

j

th桌子的座位容量为

b（j）

问题是： 我们最多可以坐多少人

编辑： 这个问题可以通过创建一个图并运行最大流算法来解决。但是如果我们使用Dinic算法有2*10^3个顶点，那么全局复杂度是O（10^6*10^6）=O（10^12）

如果我们总是以贪婪的方式坐在大团体的前面。复杂度为O（10^6）

因此，我的问题是：

1） 贪婪方法在这个问题上有效吗

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2） 解决这个问题的最佳算法是什么？

是的，贪婪地将最大的家庭排在第一位是正确的解决方案。我们只需要证明，在我们让下一个最大的家庭入座后，有一种方法可以让其余的家庭正确入座

假设一个实例是可解的。我们通过归纳证明了贪婪算法求解

k

最大族后存在解。基础

k=0

是显而易见的，因为要证明的假设是存在解。归纳地，假设存在一个解决方案，该解决方案扩展了贪心对第一个

k-1

族的部分赋值。现在贪婪扩展了它的部分赋值，将

k

th族放入其中。我们编辑已知的解来恢复归纳假设

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虽然我们仍然可以找到一张表，其中贪婪坐着一个

k

th家族成员，但已知的解决方案没有。如果已知解决方案中

T1

处有空格，请将

k

th族成员从贪婪没有空格的表中移出。否则，已知解决方案中的一个家庭成员不在

k

最大的家庭中，位于

T1

。由于该族比第

k

th大族小，因此第

k

th大族成员占据的表

T2

，较小族没有。交换这些成员。

很容易想出这样的例子，即这样的座位根本不可能，因此，假设问题是可以解决的，下面是一个解决问题的伪代码：

Sort each family i by a(i) in decreasing order
Add each table j to a max-heap with b(j) as the key

For each family i from the sorted list:
    Pop a(i) tables from max-heap
    Add one member of i to each table
    Add each table j back into the max-heap with b(j) = b(j) - 1

设

n=a（1）+a（2）+…+a（p）

（即总人数）

假设最大堆使用二进制堆，则时间复杂度为：

• 排序族：

  O（plog（p））

• 初始化最大表堆：

  O（qlog（q））

• 所有到最大堆的弹出和推送：

  O（nlog（q））

给出

O（plog（p）+qlog（q）+nlog（q））

的总时间复杂度，其中

O（nlog（q））

可能占主导地位

由于我们处理的是整数，如果我们对最大堆使用1D桶系统，使得

c

是最大

b（j）

，那么我们将得到

O（n+c）

（假设最大堆操作占主导地位），这可能更快

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最后，请投票支持大卫的答案，因为证据是必需的，而且非常棒。

对于计算机科学SE来说，这可能是一个更好的问题。