Algorithm 在O（n^2）中找到任何与毕达哥拉斯方程匹配的三元组

我认为在假日解决这个问题很有趣：

给定

n

整数，所有整数都在

1..n^3

中，找出是否有一个三元组与O（n^2）中的毕达哥拉斯方程相匹配

正如你们所知，毕达哥拉斯方程是

a^2+b^2=c^2

。例如

3^2+4^2=5^2

正如您所知，O（n^2 logn）很简单（只需稍加思考），但有助于解决O（n^2）。（空间并不重要）

编辑：正如yi_H提供的，有一个查找表可以很容易地解决这个问题，但为了使它更难，空间限制是O（n^2）。

我猜O（n^2 log n）应该是对数字进行排序，取任意两对（O（n^2））并查看

c^2=a^2+b^2

的数字中是否有

c

。您可以使用二进制搜索来查找

c

，即O（log（n））

现在，如果空间不是问题，您可以为O（n）中的所有值创建一个散列，然后您可以使用O（1）在该散列中查找

c

，因此它将是O（n^2）。您甚至可以为它创建一个查找表，因为数字介于1..n^2之间，所以它将保证为O（1）查找；）您还可以使用一个特殊的查找表，它可以在O（1）中进行初始化、添加和查找。

我猜O（n^2 log n）将用于对数字进行排序，取任意两对（O（n^2））并查看

c^2=a^2+b^2

的数字中是否有

c

。您可以使用二进制搜索来查找

c

，即O（log（n））

---

现在，如果空间不是问题，您可以为O（n）中的所有值创建一个散列，然后您可以使用O（1）在该散列中查找

c

，因此它将是O（n^2）。您甚至可以为它创建一个查找表，因为数字介于1..n^2之间，所以它将保证为O（1）查找；）您还可以使用一个特殊的查找表，它可以在O（1）中进行初始化、添加和查找。

所有毕达哥拉斯三元组

（a、b、c）

都具有以下关系：

a = d * (2 * m * n)
b = d * (m^2 - n^2) 
c = d * (m^2 + n^2)

在哪里

（意思是：

m

和

n

没有共同因素

---

我想人们可以找到一种算法，利用这一信息来产生

n^3

以下的所有三元组。

所有毕达哥拉斯三元组

（a，b，c）

都有以下关系：

a = d * (2 * m * n)
b = d * (m^2 - n^2) 
c = d * (m^2 + n^2)

在哪里

（意思是：

m

和

n

没有共同因素

---

---

我想人们可以找到一种算法，利用这一信息来产生低于

n^3

的所有三元组。

O（n2）时间，O（n）空间：对数组中的每个z对所有数组元素进行平方排序，使用经典的线性时间算法来确定数组中是否存在x，y，从而x+y=z。

O（n2）时间，O（n）空格：对所有数组元素进行平方运算，排序，对于数组中的每个z，使用经典的线性时间算法确定数组中是否存在x，y，以便x+y=z。

哈希是一个好主意，但哈希中的搜索是按O（1）摊销的，并非所有时间都适用于任何输入。此外，散列可能会导致冲突，这取决于输入大小和应采用的散列大小，而且创建大散列（防止冲突）可能会导致大于O（n^2）时间，我不知道应该以数学方式显示它。如果您选择哈希函数作为标识函数，您将得到一个查找表。有一些带有O（1）的查找表初始化、插入、搜索和删除。麻省理工学院算法简介，练习11.1-4就是一个例子。其实并不难，现在轮到你思考了；）书中的提示：“使用一个额外的堆栈，其大小是实际存储在字典中的键的数量，以帮助确定庞大数组中的给定条目是否有效。”哈希是一个好主意，但在哈希中搜索是按O（1）摊销的，并非所有时间都适用于任何输入。此外，散列可能会导致冲突，这取决于输入大小和应采用的散列大小，而且创建大散列（防止冲突）可能会导致大于O（n^2）时间，我不知道应该以数学方式显示它。如果您选择哈希函数作为标识函数，您将得到一个查找表。有一些带有O（1）的查找表初始化、插入、搜索和删除。麻省理工学院算法简介，练习11.1-4就是一个例子。其实并不难，现在轮到你考虑了；）书中的提示：“使用一个额外的堆栈，其大小是字典中实际存储的键数，来帮助确定巨大数组中的给定项是否有效。“+1很好的等式，但仍然有3个不同的变量，（m，n，d）@Saeed:我正在重新阅读你的描述。你有

n

整数，它们在

1..n^3

范围内。如果你有

1..n^3

范围内的所有数字，方程会更有用。@ypercube，我想你应该更详细地阐述你的想法，我有一个稍微复杂的算法来解决这个问题，但是如果你能找到一个简单的数学公式就好了。不，我认为以前被称为d的@the guy有最好的方法。如果你在检查表中有更多的数字，按照

O（n^3）

+1个很好的方程的顺序，我的方法会更好，但你仍然有3个不同的变量，（m，n，d）@Saeed:我正在重新阅读你的描述。你有

n

整数，它们在

1..n^3

范围内。如果你有

1..n^3

范围内的所有数字，方程会更有用。@ypercube，我想你应该更详细地阐述你的想法，我有一个稍微复杂的算法来解决这个问题，但是如果你能找到一个简单的数学题就好了。不，我认为以前被称为d的@the guy有最好的方法。如果你在检查表中有更多的数字，我的方法会更好，顺序是

O（n^3）

。我喜欢这个想法。根本不需要哈希或任何内存分配-您可以在输入数组中就地运行它。您可能想解释一下“经典”