Assembly 指令FYL2XP1

我想知道为什么x86体系结构上的指令

FYL2XP1

精确计算数学公式y·log2（x+1）

---

这个公式有什么特别之处？

操作数

y

通常是一个编译时常数，暂时忘掉

x+1

由于

log_b（x）=log_b（2）*log_2（x）

该指令允许计算

x+1

任意基数的对数 请注意，

log_b（2）

是一个常数，因为很少需要计算底部有自由度的对数

FYL2XP1

和

FYL2X

是计算对数的唯一两条x87指令。
如果对数是一个代数函数，一条指令就足够了，但由于它是超越的，英特尔给出了两个版本

FYL2X

适用于对数的全域，但它在整个范围内并不完全准确，尤其是对于非常小的

x

（我认为可能更慢，它必须进行范围缩小，使用截断泰勒展开或Padé近似，而不是通过查表来提高精度）

FYL2XP1

仅适用于小范围±（1–sqrt（2）⁄2）的输入。
这应该更快（无范围缩减），更重要的是，对于给定的输入范围，使用的近似方法的精度应等于或大于x87 80位浮点精度

此指令为接近0的ε值[寄存器ST（0）中的值]提供最佳精度。对于 小ε值，使用FYL2XP1指令比使用 （ε+1）作为FYL2X指令的参数

：
经过所有其他必要步骤后，

FYL2X

使用的算法可能正在使用

log（x+1）

的近似公式
要将其转换为

log（x）

的公式，必须将输入减去1。如果

x

非常小，则

x-1

操作将失去精度（因为两个数字的指数之间的巨大差异将使

x

的大部分数字向右偏移）。

---

FYL2XP1

不会执行

x-1

并且不会丢失精度

log（x）

的泰勒级数通常是关于

x=1

的。所以每个学期都有

x-1

。如果您试图为非常小的

x

计算

log（x+1）

，则直接调用

log（x+1）

将导致

x+1-1

，这将删除

x

的所有低阶位，从而在

x

非常小时失去精度。一个内置的

log（x+1）

可以省略这个

x+1-1

步骤并保持完全的精度。@神秘的是，很好的观点！手册中有相当多的提示相信指令使用的是x=1左右的近似值，即使实际的算法没有透露。但是你的措辞很好，因为它关注的是真正的问题：对x=1进行的近似将有一个x-1项，而1>>x意味着精度损失。非常感谢你！顺便问一下，你知道英特尔为什么为

FYL2XP1

选择特定的输入范围吗？@Mystical IIRC，最初的8087带有额外的三位用于内部计算，即总共67个尾数位。如果您需要确定，请查看约翰·F·帕尔默、斯蒂芬·P·莫尔斯的《8087入门》，威利1984。如果y=1，我认为FYL2XP1<1 ulp中的错误。对于AMD Athlon处理器内部的x87 FPU，我们使用了68位内部精度。参见：Stuart F.Oberman，“浮点除法和平方根算法及其在AMD-K7中的实现”™ 微处理器”，载于《第14届IEEE计算机算术研讨会论文集》，第106-115页。IEEE 1999。FYL2XP1<1 ulp中的错误对于任何x，该系列是

log（x+1）=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4…

分母是线性的，因此可以忽略不计。

x=1/sqrt（2）

每两个术语将下降2倍。（因为

x^2=1/2

）因此0.5位/项。同样，对于给定的

x

，收敛速度为

-log（| x |）/log（2）

位/项，其中在复平面上

|x |<1

。在这些界限之外，它会发散。@在固定大小的FP算法中，神秘的泰勒展开式很少用于计算超越数。Rafi Nave，“在数字处理器上实现超越函数”，《微处理和微程序设计》11（1983）221-225指出，8087使用CORDIC和有理近似（可能是极大极小类）的组合来计算超越函数。对于Athlon，对于一次近似区间上的log2（1+x），我使用恒等式log（1+x）=2*atanh（x/（x+2）），并使用有理极小极大近似来计算atanh（）。只需要很少的术语。为什么要在有关x87 FPU指令的问题上取消标记x87？这是这里最具体、最相关的标签。