Big o T（n）=T（n-sqrt（n））&x2B；T（sqrt（n））和#x2B；1.

如何解决这个问题？ 归纳法是获得答案的唯一方法吗？如果是的话，你会如何猜测基本情况

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我的猜测是O（logn），但我不确定如何解决它。

递归关系是：

T(1) = c
T(n) = T(n - sqrt(n)) + T(sqrt(n)) + 1

我们可以写出几个术语：

n    T(n)
-    ----
1    c
2    c + c + 1 = 2c + 1
3    2c+1 + c + 1 = 3c + 2
4    2c+1 + 2c+1 + 1 = 4c + 3
5    3c+2 + 2c+1 + 1 = 5c + 4
6    4c+3 + 2c+1 + 1 = 6c + 5
…    …
9    6c+5 + 3c+2 + 1 = 9c + 8
…    …
k    kc + k - 1 = k(c + 1) - 1

在尝试了一些术语之后，它看起来确实是线性的。我们可以猜测T（n）=k（c+1）-1并试图证明它

基本情况：T（1）=c=1（c+1）-1=c+1-1=c。证实

归纳假设：假设T（n）=n（c+1）-1，所有n到k，包括k

诱导步骤：显示T（k+1）=（k+1）（c+1）-1。从递推得到T（k+1）=T（k+1-sqrt（k+1））+T（sqrt（k+1））+1。根据归纳假设，这等于（k+1-sqrt（k+1））（c+1）-1+sqrt（k+1）（c+1）-1+1。简化，这是（k+1）（c+1）-1-1+1=（k+1）（c+1）-1，根据需要

---

因此，T（n）=n（c+1）-1，因此T（n）=O（n）。

递归关系为：

T(1) = c
T(n) = T(n - sqrt(n)) + T(sqrt(n)) + 1

我们可以写出几个术语：

n    T(n)
-    ----
1    c
2    c + c + 1 = 2c + 1
3    2c+1 + c + 1 = 3c + 2
4    2c+1 + 2c+1 + 1 = 4c + 3
5    3c+2 + 2c+1 + 1 = 5c + 4
6    4c+3 + 2c+1 + 1 = 6c + 5
…    …
9    6c+5 + 3c+2 + 1 = 9c + 8
…    …
k    kc + k - 1 = k(c + 1) - 1

在尝试了一些术语之后，它看起来确实是线性的。我们可以猜测T（n）=k（c+1）-1并试图证明它

基本情况：T（1）=c=1（c+1）-1=c+1-1=c。证实

归纳假设：假设T（n）=n（c+1）-1，所有n到k，包括k

诱导步骤：显示T（k+1）=（k+1）（c+1）-1。从递推得到T（k+1）=T（k+1-sqrt（k+1））+T（sqrt（k+1））+1。根据归纳假设，这等于（k+1-sqrt（k+1））（c+1）-1+sqrt（k+1）（c+1）-1+1。简化，这是（k+1）（c+1）-1-1+1=（k+1）（c+1）-1，根据需要

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因此，T（n）=n（c+1）-1，T（n）=O（n）作为结果。

我将尝试给您一些提示。暂时忘掉

1

（以后处理它很容易，而且不会改变任何事情）

sqrt

也没关系：它可以是n/2，1，随便什么。此外，它还有助于想象一个递归树：每个节点的成本为1（基本情况），每个节点的值是其子节点值的总和。答案是根中的值。我将尝试给您一些提示。暂时忘掉

1

（以后处理它很容易，而且不会改变任何事情）

sqrt

也没关系：它可以是n/2，1，随便什么。此外，它还有助于想象一个递归树：每个节点的成本为1（基本情况），每个节点的值是其子节点值的总和。答案是根中的值。这是正确的，感谢您提供完整的答案。这样，如果是

T（n）=T（n-sqrt（n））+T（sqrt（n））+n

，则运行时间将变为O（n.log n），这类似于快速排序。这是正确的，感谢您提供完整的答案。这样，如果它是

T（n）=T（n-sqrt（n））+T（sqrt（n））+n

，则运行时间将变成O（n.log n），这与快速排序类似。