Big o f（n）=O（g（n））或g（n）=O（f（n））

我试图证明这对于任何函数f和g，以及域和共域N都是正确的。我已经看到它被证明是使用极限的，但显然你也可以证明它没有极限

本质上，我试图证明的是“如果f（n）没有g（n）的大O，那么g（n）必须有f（n）的大O”。我遇到的困难是试图理解“f没有g的大O”的意思

根据big-O的形式定义，如果f（n）=O（g（n））那么n>=n->f（n）不是真的。如果

n

是奇数，否则为零，如果

n

是偶数，否则为零

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如果说

f

是

O（g）

就意味着存在一个常数

C>0

和

N>0

，因此

N>N

意味着

f（N）首先，你对big-O的定义有点偏离。你说：

我认为这意味着对于n的所有值，都不存在满足这个不等式的c

实际上，您需要选择一个值
c
，该值满足
n
的any值的不等式

无论如何，要回答这个问题：
我不相信问题中的陈述是正确的……让我们看看是否能想出一个反例，其中f（n）≠ O（g（n））和g（n）≠ O（f（n））

注意：我将交替使用
n
和
x
，因为这样更容易思考。

我们必须想出两个函数，它们在走向无穷大时不断相互交叉。不仅如此，它们还必须继续相互交叉，而不管我们将它们乘以常数
c

因此，我认为函数必须在两种不同的时间复杂度之间交替

让我们看一个在
y=x
和
y=x^2
之间交替的函数：

f(x) = .2 (x * sin(x) + x^2 * (1 - sin(x)) )


现在，如果我们创建一个具有轻微偏移振荡的类似函数：

g(x) = .2 (x * cos(x) + x^2 * (1 - cos(x)) )

然后，这两个函数将继续相互交叉，直至无穷远

对于您选择的任何数字
N
，无论多高，都会有一个
x1
大于
N
，这样
f（x）=x^2
和
g（x）=x
。同样，也会有
x2
这样的
g（x）=x^2
和
f（x）=x

此时，您将无法选择任何
c1
或
c2
来确保
f（x）
或
g（x）

总之，f（n）≠ O（g（n））并不意味着g（n）=O（f（n））。
这个问题不是关于代码的。我相信它适用于理论计算机科学姐妹网站，很好地解释了示例功能和可视化。