Binary 二进制数加法和比较的图灵机

大家好

为了学习，我正在尝试解决这个问题。有人能指导我解决这三个问题吗

就像我试过的第一个问题，两个以“+”分隔的二进制数相加。其中，我尝试了两个数字相加，用各自的数字1或0表示每个数字，例如5=1或0 0 0 0，然后将它们相加，结果也将与所表示的格式相同，但如何添加或表示2个二进制文件并用+分隔，没有任何线索。图灵机的机头会从左移到加号，然后从加号左右移动吗？但是如何进行添加。就我所知，TM不能简单地添加二进制文件，我们必须制作一些逻辑来表示它的二进制文件，就像简单地添加2个数字一样。比较两个二进制文件的情况也类似吗？

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关于

有两种方法可以解决加法问题。假设您的输入磁带的格式为

^a+b$

，其中

^

和

$

是表示您已到达输入的前面和后面的符号

您可以通过

1

每一步递增

b

并递减

a

，直到

a

为0，此时

b

将是您的答案。这是假设您可以轻松地编写一个可以递增和递减的TM

您可以实现一个完整的加法TM，使用进位，就像您在纸上添加二进制数字一样

对于任一选项，您都需要代码来查找

a

和

b

中的最低有效位。这个问题指定最高有效位是第一位，因此对于

a

您需要从

+

开始，对于

b

您需要从

$

开始

例如，假设我们想要增加

1011$

。我们将使用的算法是找到最不重要的未标记数字。如果是

0

，请将其替换为

1

。如果是

1

，请向左移动

首先查找$，将读取头移动到那里。将读取头向左移动

您会看到一个

1

。将读取头向左移动

您会看到一个

1

。将读取头向左移动

您将看到一个

0

。写入

1

将读取头返回到$。二进制数现在是

1111$

要比较两个数字，您需要跟踪已经查看的值。这是通过扩展带有“标记”字符的字母表来实现的<例如，代码>0可以标记为

X

，

1

可以标记为

Y

X

的意思是“这里有一个0，但我已经看到了

因此，对于相等性，我们可以从

^

开始

a

和

=

开始

b

（假设输入看起来像

^a=b$

）算法是找到

a

和

b

的开头，比较它们的第一个未标记位。第一次得到不同的值时，停止并拒绝。如果得到

=

和

$

，则停止并拒绝

让我们看一下输入

^11=10$

：

读取头从^开始

向右移动头部，直到找到未标记的位

读取

1

。写入

Y

。磁带读取

^Y1=10$

。我们处于表示已读取

1

的状态

向右移动头部，直到找到

=

向右移动头部，直到找到未标记的位

读取a

1

。这与我们之前读取的位匹配。写入a

Y

向左移动头部，直到找到

^

转至步骤2

这次，我们将在

a

中读取

1

，并在

b

中读取

0

。我们将暂停并拒绝

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希望这有助于您开始学习。

我将从问题2和3开始，因为它们实际上比问题1容易

我们假设我们有有效的输入（两边都是非空的二进制字符串，没有前导零），因此我们不需要进行任何输入验证。为了检查数字是否相等，我们可以简单地在=符号上来回跳转，一次划掉一个数字。如果我们在任何点上发现不匹配，我们会拒绝。如果我们在左边还有一个数字，但在右边找不到，我们会拒绝。如果我们在左边和右边的数字都用完了，我们会拒绝还有一些在右边，我们拒绝。否则，我们接受

Q    T    Q'    T'    D

q0   0    q1    X     right    // read the next (or first) symbol
q0   1    q2    X     right    // of the first binary number, or
q0   =    q7    =     right    // recognize no next is available

q1   0    q1    0     right    // skip ahead to the = symbol while 
q1   1    q1    1     right    // using state to remember which
q1   =    q3    =     right    // symbol we need to look for
q2   0    q2    0     right
q2   1    q2    1     right
q2   =    q4    =     right

q3   X    q3    X     right    // skip any crossed-out symbols
q3   0    q5    X     left     // in the second binary number
q3   1,b  rej   1     left     // then, make sure the next
q4   X    q4    X,b   right    // available digit exists and
q4   0,b  rej   0,b   left     // matches the one remembered
q4   1    q5    X     left     // otherwise, reject

q5   X    q5    X     left     // find the = while ignoring
q5   =    q6    =     left     // any crossed-out symbols

q6   0    q6    0     left     // find the last crossed-out
q6   1    q6    1     left     // symbol in the first binary
q6   X    q0    X     right    // number, then move right
                               // and start over

q7   X    q7    X     right    // we ran out of symbols
q7   b    acc   b     left     // in the first binary number,
q7   0,1  rej   0,1   left     // make sure we already ran out
                               // in the second as well

这个TM可以首先通过确保两个二进制字符串都是非空的并且不包含前导零（去掉它找到的任何前导零）来清理输入

若要执行“大于”，您可以轻松执行以下操作：

检查第一个二进制数的长度（删除前导零后）是否大于、等于或小于第二个二进制数的长度（删除前导零后）。如果第一个二进制数长于第二个二进制数，则接受。如果第一个二进制数短于第二个二进制数，则拒绝。否则，继续执行步骤2

与另一个问题一样检查是否相等，但如果在任何时候第一个数字中有1，第二个数字中有0，则接受。这是有效的，因为我们知道没有前导零，数字的位数相同，并且我们正在按重要性降序检查数字。如果发现其他不匹配或确定数字相等

要添加数字，问题是递增和递减，但我觉得仅使用进位进行添加并不难。该过程的概要如下：

以进位=0开始

转到第一个数字的最低有效位。转到状态（dig=X，进位=0）

转到第二个数字的最低有效位。转到状态（总和=（X+Y+进位）%2，进位=（X+Y+进位）/2）

在第二个数字后面写下和数

加油

#1011+101#
#101X+101#
#101X+10X#
#101X+10X=#
#101X+10X=0#
#10XX+10X=0#
#10XX+1XX=0#
#10XX+1XX=00#
#1XXX+1XX=00#
#1XXX+XXX=00#
#1XXX+XXX=000#
#XXXX+XXX=000#
#XXXX+XXX=0000#
#XXXX+XXX=00001#
#XXXX+XXX=0000#
#1XXX+XXX=0000#
#1XXX+XXX=000#
#10XX+XXX=000#
#10XX+XXX=00#
#100X+XXX=00#
#100X+XXX=0#
#1000+XXX=0#
#1000+XXX=#
#10000XXX=#
#10000XXX#
#10000XX#
#10000X#
#10000#