C 计算（（2^n）-1）mod p的最佳方法

我正在做一个加密练习，我试图计算（2n-1）mod p，其中p是一个素数

这样做的最佳方法是什么？我用的是C，所以当n较大时，2n-1变得太大而无法容纳

我遇到了方程（a*b）modp=（a（bmodp））modp，但我不确定这是否适用于这种情况，因为2n-1可能是素数（或者我不确定如何将其分解）

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非常感谢您的帮助。

步骤1。x=移动1 n次，然后减去1

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步骤2.result=x和p的逻辑and运算

要取模，你必须有2^n-1，否则你将朝不同的算法方向移动，有趣但方向不同，因此我建议你使用大整数概念，因为这很容易。。。建立一个结构并在小值中实现大值，例如

  struct bigint{
    int lowerbits;
    int upperbits;
  }

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语句的分解也有类似于2^n=（2^n-4*2^4）-1%p分解并分别处理它们，这将是非常算法化的，然后提供一些提示来帮助您找到更好的方法：

不要用（a*b）modp=（a（bmodp））modp来计算2n-1模p，用它来计算2n模p，然后再减去

在这里可能有用。这样，你实际需要处理的指数就不会超过p

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要计算2^n-1 mod p，可以先从n中删除（p-1）的任意倍数（因为a^{p-1}=1 mod p），然后通过平方来使用指数运算。在伪代码中：

n = n % (p - 1)
result = 1
pow = 2
while n {
    if n % 2 {
        result = (result * pow) % p
    }
    pow = (pow * pow) % p
    n /= 2
}
result = (result + p - 1) % p

首先，关注2n模p，因为你总是可以在最后减去一

考虑两个人的力量。这是一个数字序列，通过重复乘以2得到

考虑模运算。如果数字是以p为基数写的，那么你只需要抓取最后一个数字。更高的数字可以扔掉

因此，在序列中的某个点，你得到一个两位数（p的位置是1），你的任务实际上就是在出现这种情况时去掉第一个数字（减去p）

从概念上讲，这里停止讨论，蛮力方法是这样的：

uint64_t exp2modp( uint64_t n, uint64_t p ) {
    uint64_t ret = 1;
    uint64_t limit = p / 2;
    n %= p; // Apply Fermat's Little Theorem.

    while ( n -- ) {
        if ( ret >= limit ) {
            ret *= 2;
            ret -= p;
        } else {
            ret *= 2;
        }
    }
    return ret;
}

不幸的是，对于大n和大p来说，这仍然需要很长时间，我现在想不出更好的数论了

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如果您有一个乘法工具，可以计算（p-1）^2而不产生溢出，那么您可以使用一个类似的算法，在每次平方运算后使用模反复平方，然后取平方残差序列的乘积，在每次乘法后再次使用模。

您在注释中提到

n

和

p

是9或10位数字或其他数字。如果将它们限制为32位（

无符号长

）值，则可以通过简单（二进制）模幂运算找到

2^n mod p

：

unsigned long long u = 1, w = 2;

while (n != 0)
{
    if ((n & 0x1) != 0)
        u = (u * w) % p; /* (mul-rdx) */

    if ((n >>= 1) != 0)
        w = (w * w) % p; /* (sqr-rdx) */
}

r = (unsigned long) u;

而且，由于

（2^n-1）mod p=r-1 mod p

：

r = (r == 0) ? (p - 1) : (r - 1);

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<>＞代码＞2 ^ n mod p＝0＜/代码＞，如果<代码> p＞2＜代码>为素数，则不会发生，但我们不妨考虑一般情况-然后<代码>（2 ^ n- 1）mod p= -1 mod p< /代码>

由于'common residence'或'resident'

（mod p）

在

[0，p-1]

中，因此我们添加了

p

的倍数，使其在该范围内

否则，

2^n mod p

的结果在

[1，p-1]

中，并且减去

1

将已经在该范围内。这可能更好地表达为：

if (r == 0)
    r = p - 1; /* -1 mod p */
else
    r = r - 1;

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当我在HackerRank上解决一个数学问题时，我发现了我在这里发布的答案，它适用于所有给定的测试用例

如果将

n

和

p

限制为64位（无符号长）值，则以下是数学方法：

2^n-1

可以写成

1*[（2^n-1）/（2-1）]

如果仔细观察，这是GP

1+2+4+..的总和2^（n-1）

瞧，我们知道

（a+b）%m=（（a%m）+（b%m））%m

如果您对上述关系是否正确有疑问，您可以在谷歌上搜索，也可以查看此链接：

因此，现在我们可以将上述关系应用于我们的GP，您将得到您的答案！！ 就是，

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（2^n-1）%p

相当于

（1+2+4+..+2^（n-1））%p

，现在应用给定的关系

我更喜欢你在我的博客上的帖子，回答得很好，但我怎么能“事后减去”？因为mod可能在其中一个步骤中发生变化。例如，（100mod100）=0，而（100-1）mod100=（99mod100）=99。之后的减法是如何工作的呢？好吧，除非p=2，否则2^n mod p不会是0。（但在一般情况下，你可以测试一下）@navinpai:-1 mod 100=99。我认为这个问题不包括操作将在哪种类型的数据上进行。所以我只是想找到一个通用的解决方案。问题是这不是通用的。移位和逻辑and是位字符串上的操作，而不是整数。一般的解决方案是那些假设较少的解决方案。删除了x的int数据类型。如果没有外来平台，它仍然不适用于n>62。此外，模不是通过逻辑AND计算的，除非p也是一个整数2^n-1。@Potatoswatter，现在我得到了我答案的限制。谢谢对你的评论投赞成票。n和p的数字范围非常相关。p是一个10位数的素数（比如100000007），n最多是9位数。是否有任何10位数的素数达到99999999，或者有一个特定的上限？2^32 ≈ 4*10^9是10位数字，所以问题是你是否可以在不溢出本机64位整数类型的情况下对小于p的任何数字进行平方运算。我可以选择我的素数，比如说，我选择它作为100000007（前10位素数）谢谢。这很有效。但是你能解释一下最后一行吗？我不知道那是什么doing@navinpai-是-我会更新答案的。