Complexity theory NP完全vs NP难（为什么它们不相等？）

为什么NP难不等于NP完全

我对所用定义的非正式理解：

NP-所有可在多项式时间内验证的问题

NP完全-所有NP和NP难的问题

NP难-至少和NP中最难的问题一样难

决策问题-就输入和输出布尔值提出问题的问题

混乱：

p与NP的未知解问题产生于这样一个事实，即我们不能证明或反驳NP中的所有问题都可以在多项式时间内求解。感觉类似的问题来自NP完全和NP难。我们怎么知道NP难中的所有问题都不能在多项式时间内得到验证，从而导致NP难=NP完全

以下是我的推理路线

从在线研究来看，这种区别似乎与决策问题有关（我对这个概念完全陌生，但似乎很简单）。我认为这意味着NP中的问题有互补的决策问题，询问输入是否是问题的解决方案。假设问题是找到一个最优的解决方案。我相信互补决策问题是“给定的输入是最优解吗？”并且我相信如果这个决策问题在多项式时间内是可验证的，那么这个问题就是NP完全问题（或NP完全问题）。这意味着，不是NP完全问题的NP难问题是那些没有决策问题的问题（我认为这永远不会是真的，因为任何暴力解决方案都可以回答这个问题），或者一个问题是NP难问题，而不是NP完全问题，如果它有一个在多项式时间内无法验证的决策问题。如果是后者，那么我们会觉得P和NP有同样的问题。也就是说，我们如何确认NP难中的所有决策问题都没有多项式时间解

对不起，如果上面的措辞很奇怪。我将尽力澄清我问题中的任何困惑

注释

我对直观的解释和正式的解释都感兴趣（如果是复杂的答案，那就是证明）。正式的解释当然可以链接到学术论文。我不希望任何人花费大量时间在一个可能超出我理解范围的过于复杂的证明上（我发现复杂性理论很快变得……复杂）

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如果为了便于解释，我已经完成了旅行推销员问题的研究，目前正在撰写护士排班问题的论文（我相信这是NP难问题）。

NP难包括所有问题，其解决方案可用于推导多项式开销NP问题的解

这包括很多NP中没有的问题。例如，停顿问题——一个不可判定的问题——是NP难问题，因为NP中的任何问题都可以在多项式时间内简化为它：

将NP中的任何问题简化为NP完全问题3-SAT的一个实例

在多项式时间内构造一个TM，该TM检查所有分配，并在找到满意的分配时停止

使用停止问题的解决方案来判断TM是否停止

如果停止，接受；否则，拒绝

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可能重复您在错误的网站上提出的问题，这是一个不适合的问题。不是…就是…