Configuration 机器人技术：配置空间中的距离

在配置空间中，假设有一个配置c_1和一个目标配置c_t，是否有一种方法可以确定c_1与c_t的“距离”？我假设“多远”可以通过姿势变化的数量来衡量。有没有一种数学方法来定义两个配置之间的距离？

配置空间（C空间）中配置向量

q_a

和

q_b

之间的距离是两个向量之间差异的标准（另外，配置通常表示为

q

）。这对于任何n维空间都是正确的。其方程式为：

再解释一下-我相信你知道，二维欧几里德空间中点

a

和

b

之间的距离由

x

和

y

距离平方和的平方根给出：

d_x = a_x - b_x
d_y = a_y - b_y
distance = sqrt(d_x^2 + d_y^2)

将其推广到n维：n维空间中两点

a

和

b

之间的距离由下式给出：

---

配置空间（C空间）中配置向量

q_a

和

q_b

之间的距离是两个向量之间差异的标准（另一方面，配置通常表示为

q

）。这对于任何n维空间都是正确的。其方程式为：

再解释一下-我相信你知道，二维欧几里德空间中点

a

和

b

之间的距离由

x

和

y

距离平方和的平方根给出：

d_x = a_x - b_x
d_y = a_y - b_y
distance = sqrt(d_x^2 + d_y^2)

将其推广到n维：n维空间中两点

a

和

b

之间的距离由下式给出：

---

欧几里德距离不一定是所有配置空间中有意义的距离度量。一个简单的反例是SO（2），平面中刚体的配置空间。配置由两个距离和一个角度（x，y，θ）表示。在这种情况下，单位没有意义（不能将角度单位添加到距离单位）。在这种特定情况下，您可以使用-适当的距离度量很大程度上取决于配置空间的拓扑结构。这是一个很好的观点-是否值得添加它作为一个额外的答案，说明什么是最有用的度量取决于您的C空间？我认为这与大多数情况无关，因为通常机器人都是这样在多维空间中描述，但问题仍然存在，如何创建适当的距离函数？我有流形拓扑学学位，刚刚开始学习机器人技术，但我会尝试一下。我认为配置空间$Q^n$自然是$SE（3）^n=[\mathbb{R}^3\rtimes SO（3）]^n$的子流形，因此它继承了黎曼度量$g$作为子流形。然后，我们将使用路径长度度量$d（q_1，q_t）=\text{inf}{l（gamma）\\\\gamma:[a，b]\to q，\gamma（a）=q_1\text{and}\gamma（b）=q_t}$，其中$\displaystyle l（\gamma）=\int\u a^b\sqrt{g（\frac{d\gamma dt dt dt frac{d\gamma dt dt$dt$是我可以在Stackup上使用的路径长度欧几里德距离不一定是所有配置空间中有意义的距离度量。一个简单的反例是SO（2），平面中刚体的配置空间。配置由两个距离和一个角度（x，y，θ）表示。在这种情况下，单位没有意义（不能将角度单位添加到距离单位）。在这种特定情况下，您可以使用-适当的距离度量很大程度上取决于配置空间的拓扑结构。这是一个很好的观点-是否值得添加它作为一个额外的答案，说明什么是最有用的度量取决于您的C空间？我认为这与大多数情况无关，因为通常机器人都是这样在多维空间中描述，但问题仍然存在，如何创建适当的距离函数？我有流形拓扑学学位，刚刚开始学习机器人技术，但我会尝试一下。我认为配置空间$Q^n$自然是$SE（3）^n=[\mathbb{R}^3\rtimes SO（3）]^n$的子流形，因此它继承了黎曼度量$g$作为子流形。然后，我们将使用路径长度度量$d（q_1，q_t）=\text{inf}{l（gamma）\\\\gamma:[a，b]\to q，\gamma（a）=q_1\text{and}\gamma（b）=q_t}$，其中$\displaystyle l（\gamma）=\int\u a^b\sqrt{g（\frac{d\gamma dt dt dt frac{d\gamma dt dt$dt$是我可以在Stackup上使用的路径长度