Coq 用共导假设证明共导定理

我有一个简单的惰性二叉树实现：

共导树（A:Set）：集合：= |LLeaf:LTree A |LBin:A->（树A）->（树A）->树A。 以及以下特性：

（*具有无限分支*）
共导SomeInfinite{A}:LTree A->Prop:=
某种无限的力量：
对于所有（a:a）（lr:LTree a），（SomeInfinite l\/SomeInfinite r）->
无限的某物（LBin ul r）。
（*只有有限分支（即有限）*）
归纳AllFinite{A}:LTree A->Prop:=
|AllFinite_LLeaf:AllFinite（LLeaf A）
|所有有限公司：
对于所有（a:a）（l-r:l树a），（所有有限l/\所有有限r）->
全有限（LBin ulr）。

我想证明一个定理，即有限树没有无限分支：

定理allfinite\u noinfinite:forall{A}（t:LTree A），allfinite t->not（SomeInfinite t）。

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…但我在开始几次战术后就迷路了。这个假设本身似乎很琐碎，但我甚至不能从它开始。证明这样一个定理会是什么样子？

证明其实并不难（但你偶然发现了一些令人讨厌的怪癖）：首先，证明的主要思想是你有一个归纳证人，证明t是有限的，因此，你可以对证人进行归纳，当

t

只是一片叶子时，得出一个矛盾的结论，当它是一个二进制节点时，重复使用归纳假设

现在令人恼火的问题是Coq没有为

AllFinite

推导出正确的归纳原理，因为

/\

：比较

Inductive AllFinite {A} : LTree A -> Prop :=
  | AllFinite_LLeaf : AllFinite (LLeaf A)
  | AllFinite_LBin :
      forall (a : A) (l r : LTree A), AllFinite l /\ AllFinite r ->
                                 AllFinite (LBin _ a l r).
Check AllFinite_ind.
(* AllFinite_ind *)
(*      : forall (A : Set) (P : LTree A -> Prop), *)
(*        P (LLeaf A) -> *)
(*        (forall (a : A) (l r : LTree A), *)
(*         AllFinite l /\ AllFinite r -> P (LBin A a l r)) -> *)
(*        forall l : LTree A, AllFinite l -> P l *)

与

在归纳的情况下，第一个版本并没有给出预期的归纳假设。因此，您可以将

AllFinite

更改为

AllFinite'

，或者您需要手动重新编写归纳原理

Inductive AllFinite' {A} : LTree A -> Prop :=
  | AllFinite'_LLeaf : AllFinite' (LLeaf A)
  | AllFinite'_LBin :
      forall (a : A) (l r : LTree A), AllFinite' l -> AllFinite' r ->
                                 AllFinite' (LBin _ a l r).
Check AllFinite'_ind.
(* AllFinite'_ind *)
(*      : forall (A : Set) (P : LTree A -> Prop), *)
(*        P (LLeaf A) -> *)
(*        (forall (a : A) (l r : LTree A), *)
(*         AllFinite' l -> P l -> AllFinite' r -> P r -> P (LBin A a l r)) -> *)
(*        forall l : LTree A, AllFinite' l -> P l *)