Coq中同构类的定义

如何在Coq中定义同构类

假设我有一张ToyRec的记录：

Record ToyRec {Labels : Set} := {
X:Set;
r:X->Labels
}.

以及ToyRec类型的两个对象之间同构的定义，指出 如果存在保留映射元素标签的双射f:T1.（X）->T2.（X），则对象T1和T2是同构的

Definition Isomorphic{Labels:Set} (T1 T2 : @ToyRec Labels) : Prop :=
exists f:T1.(X)->T2.(X), (forall x1 x2:T1.(X), f x1 <> f x2) /\ 
                         (forall x2:T2.(X), exists x1:T1.(X), f x1 = f x2) /\
                         (forall x1:T1.(X) T1.(r) x1 = T2.(r) (f x1)).

一个人怎么会在coq做这样的事？我知道我的推理可能过于理论化

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在这里，什么是同构类的正确类型理论概念？或者更基本地说，如何定义满足给定属性的所有元素集（或类型）

这取决于你想用它做什么。在Coq中，有一个理解类型

{x:T | px}

，它是类型

T

中满足属性

P

的所有元素

x

的类型。但是，它是一种类型，这意味着它用于对其他术语进行分类，而不是传统意义上的数据结构。因此，您可以使用它，例如，在

T

上编写一个只对满足

P

的元素起作用的函数（在这种情况下，函数的类型将是

{x:T|px}->Y

，其中

Y

是它的结果类型），但您不能使用它，编写一个函数，计算

T

满足

P

的元素数

如果你想用这个集合进行计算，事情会变得更复杂一些。让我们假设

P

是一个可判定的属性，这样事情就变得更容易了。如果

T

是有限类型，则可以设置具有理解运算符的数据结构（例如，查看库）。但是，当

T

为无穷大时，这会中断，这是您的

ToyRec

类型的情况。正如Vinz所说，没有一种通用的方法可以建设性地将这个集合构建为一个数据结构

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如果你准确地解释了你想用这种类型做什么，也许会更容易得到一个完整的答案

我不知道你是否可以做你想做的：我不知道你如何建设性地构建这个集合，你必须枚举所有可能的函数或这种风格的东西，这对我来说似乎是不可能的。注入性应该是

对于所有xy，fx=fy->x=y

或

对于所有xy，xy->fxfy

。对于所有y，存在x，f x=y，满射性应为

对于所有x y:T，f x f y
始终为false，除非
T
为空
对于所有的y，存在x，fx=fy
总是正确的。看起来你在尝试在类型理论中做集合论。你应该尝试使用谓词而不是集合。在集合论中，你通常采用等价关系并构建等价类，这样你就可以用“标准”等式重写。在类型理论中，你通常只是用等价关系重写。谢谢。图书馆的Ssreflect似乎有我所需要的一切。在我的应用程序中，X是有限的。实际上，我只需要在nat中为n\设置X=\{1，…，n\}。有一个很好的符号来定义这个X吗？我在Ssreflect中找不到它。Ssreflect的fintype库定义了
序数
类型，基本上就是您描述的类型。看一看。如果
X
和
标签在应用程序中总是有限的，那么
{T2 |同构T1 T2}
也是有限的；看看有限域上的函数库。谢谢！这很有帮助。
g(T1) = {T2 | Isomorphic T1 T2}