Coq中sig类型元素的相等性

sig类型定义如下：

Inductive A: Set := mkA : nat-> A.
Function getId (a: A) : nat := match a with mkA n => n end.
Function filter (a: A) : bool := if (beq_nat (getId a) 0) then true else false.
Coercion is_true : bool >-> Sortclass.
Definition subsetA : Set := { a : A | filter a }.

我试图证明它的投影是内射的：

Lemma projection_injective : 
  forall t1 t2: subsetA, proj1_sig t1 = proj1_sig t2 -> t1 = t2.
Proof.
 destruct t1.
 destruct t2.
 simpl.
 intros.
 rewrite -> H. (* <- stuck here *)
Abort.

---

我试着重写，但没有成功。例如，为什么我不能重写

I

和

H

来给出Coq a

i0

？请问我错过了什么？谢谢。

在你陷入困境时，你的目标大致如下：

exist x i = exist x0 i0

如果您键入的重写成功，您将获得以下目标：

exist x0 i = exist x0 i0

在这里，您可以看到Coq抱怨的原因：重写会产生一个类型错误的术语。问题是子项

exist x0 i

使用

i

作为类型

filter x0

的一个术语，而实际上它具有类型

filter x

。为了让Coq相信这不是一个问题，您需要在重写之前稍微调整一下您的目标：

Lemma projection_injective : 
  forall t1 t2: subsetA, proj1_sig t1 = proj1_sig t2 -> t1 = t2.
Proof.
 destruct t1.
 destruct t2.
 simpl.
 intros.
 revert i. (* <- this is new *)
 rewrite -> H. (* and now the tactic succeeds *)
 intros i.
Abort.

之后您可能会遇到另一个问题：显示

filter x0

类型的任意两个项相等。一般来说，你需要证明无关性公理来证明这一点；但是，由于

过滤器

被定义为具有可判定等式的类型的两个项之间的等式，因此您可以将此属性证明为一个定理（该定理已经为您做了）

作为补充说明，该库已经有一个包含您的属性的名为

val_inj

。举个例子，我们可以这样使用它：

From mathcomp Require Import ssreflect ssrfun ssrbool eqtype.

Inductive A: Set := mkA : nat-> A.
Function getId (a: A) : nat := match a with mkA n => n end.
Function filter (a: A) : bool := if (Nat.eqb (getId a) 0) then true else false.
Definition subsetA : Set := { a : A | filter a }.

Lemma projection_injective :
  forall t1 t2: subsetA, proj1_sig t1 = proj1_sig t2 -> t1 = t2.
Proof.
  intros t1 t2.
  apply val_inj.
Qed.

---

对于第一个问题，

subst

是一种在涉及依赖类型时非常有用的策略（cf）。

Lemma projection_injective :
  forall t1 t2: subsetA, proj1_sig t1 = proj1_sig t2 -> t1 = t2.
Proof.
  intros [x1 i1] [x2 i2]; simpl; intros e.
  subst.
Abort.

From mathcomp Require Import ssreflect ssrfun ssrbool eqtype.

Inductive A: Set := mkA : nat-> A.
Function getId (a: A) : nat := match a with mkA n => n end.
Function filter (a: A) : bool := if (Nat.eqb (getId a) 0) then true else false.
Definition subsetA : Set := { a : A | filter a }.

Lemma projection_injective :
  forall t1 t2: subsetA, proj1_sig t1 = proj1_sig t2 -> t1 = t2.
Proof.
  intros t1 t2.
  apply val_inj.
Qed.