Coq 辅酶Q亚型

我对子类型的定义如下

Record Subtype {T:Type}(P : T -> Prop) := {
subtype       :> Type;
subtype_inj   :> subtype -> T;
subtype_isinj : forall (s t:subtype), (subtype_inj s = subtype_inj t) -> s = t;
subtype_h     : forall (x : T), P x -> (exists s:subtype,x = subtype_inj s);
subtype_h0    : forall (s : subtype), P (subtype_inj s)}.

下列定理能被证明吗

Theorem Subtypes_Exist : forall {T}(P : T -> Prop), Subtype P.

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如果不是，它是否可以从任何著名的兼容公理中证明？或者我可以把它作为一个公理吗？它会与任何常见的公理相冲突吗？（如可扩展性、函数选择等）

您的定义实际上与MathComp的定义相同；事实上，由于证据相关性，您缺少的主要是内射性

为此，我恐怕你需要假设命题无关：

Require Import ProofIrrelevance.
Theorem Subtypes_Exist : forall {T}(P : T -> Prop), Subtype P.
Proof.
intros T P; set (subtype_inj := @proj1_sig T P).
apply (@Build_Subtype _ _ { x | P x} subtype_inj).
+ intros [s Ps] [t Pt]; simpl; intros ->.
  now rewrite (proof_irrelevance _ Ps Pt).
+ now intros x Px; exists (exist _ x Px).
+ now destruct 0.
Qed.

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当然，你总是可以将你的谓词

p

限制为一种有效地证明无关的类型。

是否可以使用UIP？另外，如果知道这个定理有多“强”会很好，比如如果我不想添加证明无关性，那么我将其作为一个公理添加，我会得到证明无关性吗？或者它只是等同于UIP？似乎是后者。但我并不真正理解它，所以如果你能解释它，那就太好了。证明无关性比UIP强，例如，假设你有证明

p1p2:x>0

，其中

x

是实的，那么你不能让它们仅仅与UIP相等。关于你的第二个问题，我不这么认为，但它肯定很接近。

现在

是一个“证明终结者”，是从其他战术语言（如Ssreflect的Isar）引入的。基本思想是，在应用

tac

加上其他一些“简单”战术后，现在需要关闭目标。注意，我更喜欢ssreflect的

by

，因为它通常要快得多，但是如果绑定到stdlib，我现在必须使用

。Coq中的实际定义如下：