Coq 类型产品的注入能力有意义吗？

如何在Coq中证明以下内容

Goal forall (A B : Type), (A*A = B*B)%type -> A = B.

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如果它是不可证明的，是否可以安全地添加为公理？

编辑：以下答案假设一个比问题中更有力的陈述：

对于所有（a B C D:Type），（a*B=C*D）%Type->a=C

。所以答案实际上并没有回答这个问题

你的目标是不可证明的，因为它与Coq相矛盾，而Coq是独立的。出现这种矛盾是因为对于任何

A

，A*False同构于

False

。然后，单价意味着

A*False=False

，您的目标让我们对任何

A

和

B

得出结论。特别是，

True=False

，它通过传输生成

False

的证明。所以，如果你的目标是可证明的，Coq将是反单价的

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我不知道没有单价的目标是否也会导致矛盾。

它肯定与单价不一致，例如2x3=1 x 6，但1/=2和3/=6。想要这个主意真奇怪。

是的，我的评论是针对更强烈的声明。平方应该是内射的，但我不确定你们是否能在HoTt中证明这一点。

我的猜测是，假设这个公理是安全的，但它从来都不是必需的，你们总是可以重新表述一些东西，所以你们不需要它，这可能需要更多的努力。@李耀霞我在解决问题时达到了这个目标。你看到避免它的方法了吗？我会用类型特定的等价关系来切换

JMeq

eqR（r1r2:ra）：Prop:=（val\ur1=val\ur2）

（通过

a

上的等价关系进行参数化，可以更概括）。然后你可以重新表述这个定理，使其符合定义。@李耀霞好吧。。。我原以为你会更好；-）我不确定我能看出

A*False=False

如何让我们对任何

A

和

B

得出结论。你能详细说明一下吗？（例如，担心的是，作为一个公理添加也应该是不安全的？）@Sassan如果你是对的，我在我的证明中假设了一个比问题中给出的更有力的陈述。谢谢你指出这一点。我已相应地编辑了答案。OP，请不要接受答案，因为它没有回答问题。但是2、3、1和6不是类型。此外，在

nat

上，我的语句类似于

for all（xy:nat），x*x=y*y->x=y

，因此您的反例不适用。你能提供一个证据证明我的陈述与单价不一致吗？顺便说一句，我之所以要这样做（奇怪？）是因为@AndrásKovácsI我只是为有n个元素的类型写了n。如果你已经定义了Fin，那么这就是finn，我明白了。但在我的陈述中，每个乘积的操作数是相等的。限制为

Fin

类型：

forall（xy:nat），finx*finx=finy*finy->finx=finy

。所以你的反例不适用。在HoTT中，你可以很容易地证明平方运算的内射性：这是给定的A x A=B x B，然后A=B。重点是A={x:A x A | fst x=snd x}，其中我们使用Sigma类型来表示子集理解，但现在{x:A x A | fst x=snd x}={x:B x B | fst x=snd x}实际上我在掩饰一些细节（你必须消除讨厌的交通工具，但最终这是正确的）。因此，这应该可以在cubical agda中证明，我现在没有时间来检查这一点。这听起来是迄今为止最好的答案。