C++ 以最少的移动交换箱子

这是一个节目竞赛（已经结束）中的问题。我正在努力解决这个问题，但找不到一个健康的方法来解决

问题如下:

IIIT Allahabad将于10月1日至5日举行一年一度的技术文化节MM12。厨师已经同意为这个节日供应糖果。厨师准备了N盒糖果，编号为1到N（每个数字正好出现一次）。厨师对盒子的摆放非常讲究。他想把盒子按特定的顺序排列，但不幸的是厨师很忙。他让你为他重新安排箱子。给定框的当前顺序，必须按指定顺序重新排列框。但是有一个限制。您只能交换两个相邻的箱子以获得所需的订单。输出，所需的此类相邻交换的最小数量

输入

输入的第一行包含一个整数T，即测试用例数。每个测试用例包含3行，第一行包含一个整数N，框数。接下来的两行各包含N个数字，第一行是框的给定顺序，第二行是所需顺序

输出

对于每个测试用例，输出单个整数“K”，即所需的最小相邻交换数。 限制条件：

1<=T<=10
1<=N<=10^5

输出：

2
3
6
3

---

我对这个问题几乎一无所知。有人能解释一下这个问题背后的逻辑吗

我无法从数学上证明这一点，但在4/4的测试用例中，您通过从最左边开始（也可以从最右边开始）并向右移动，将框置于正确的位置，从而获得最小交换。即

3 4 5 2 1 //First get the 4 in the right place
4 3 5 2 1 //Done.  Now get the 1 in the right place
4 3 5 1 2
4 3 1 5 2
4 1 3 5 2 //Done.  Now the 5
4 1 5 3 2 //Done.  Now the 2
4 1 5 2 3 //All done.

---

所以这个算法看起来会给出任何给定输入的最小值。最坏的情况通常看起来像是反转，需要N*（N-1）/2次交换（见例2）。

假设所需的顺序是数字的排序顺序，问题归结为在数组中查找反转的数量

如果

i

和

array[i]>array[j]

，则称

对（i，j）

为反转。这是因为相邻元素之间的每次（最佳）交换都会将反转次数精确地减少

1

。您可以通过一种非常类似于合并排序的分治算法在

O（n log n）

中找到反转数。这是一个很好的解释

编辑证明反转数等于最佳互换数：

---

将

i

设为

数组中的任意位置。交换
array[i]
和
array[i+1]
最多可减少1次反转。因此，所需的互换数量至少等于互换数量。另一方面，如果
array
没有排序，我们总是可以找到一对
（i，i+1）
，这样
array[i]>array[i+1]
（即
（i，j）
是一个反转），并通过将
array[i]
与
array[i+1]
交换，将反转数减少1。因此，反转的数量等于交换的最小数量。
将源列表减少为（1,2，…，N）的排列。（通过将目标的倒数应用于源）

然后计算倒数的数目

即

向量源=。。。；
向量目标=。。。；
向量inv（N）
对于（int i=0；i

然后使用标准算法计算perm中的反转数。

该问题是一个相当“经典”的竞争编程问题，即在数组中计算反转数。反转定义为一对（i，j），其中ia[j]

最通用的版本是，给定一个任意数的数组，并要求您计算反转数，它有一个

更严格的版本^，其中数组中的最大值有一个合理的上限（注意，这不是数组的长度），可以在O（n log m）中求解，其中m是数组中的最大值。这里的要点是，与合并排序方法相比，您必须编写的代码量要少得多

问题中的问题是计算交换数以将数组按一定顺序排序，这可以重构为计算交换数以按升序对数组排序，它归结为计算反转数。为什么会出现反转数？因为每次交换2个相邻元素最多只能解析一个反转

您需要创建一个数组来描述框相对于最终设置的当前位置。然后，算法可以启动：

构造一个长度为m（对于问题中的问题，m=n）的二叉索引树

我们将使用Fenwick树来帮助我们计算数组中大于当前元素的前面元素的数量。我们将保持到目前为止遇到的数字的频率，并使用Fenwick树范围和查询来获得小于当前元素的元素数（并导出大于当前元素的元素数）

通过数组的n个元素循环：

• 使用范围和查询计算已记录的小于当前数字的数字数量
• 使用上面的信息找出比当前数字大的数字数量。将其添加到反转计数中。注意不要包括正在考虑的要素。（*）
• 将+1调整为元素值处的Fenwick树

在（*）步骤中累积的反转计数

^问题清楚地表明元素是唯一的，所以上面的算法可以工作。我只是不确定唯一性是必要条件，还是可以修改算法以适应存在唯一性的情况

3 4 5 2 1 //First get the 4 in the right place
4 3 5 2 1 //Done.  Now get the 1 in the right place
4 3 5 1 2
4 3 1 5 2
4 1 3 5 2 //Done.  Now the 5
4 1 5 3 2 //Done.  Now the 2
4 1 5 2 3 //All done.

vector<int> source = ...;
vector<int> target = ...;

vector<int> inv(N)

for (int i = 0; i < N; i++)
   inv[target[i]] = i;

vector<int> perm(N);

for (int i = 0; i < N; i++)
    perm[i] = source[inv[i]];

3 4 5 2 1  
4 1 5 2 3  

(3 4 5 2 1) to (5 1 3 4 2) 

5 1 3 4 2

5 1 3 4 2