Cryptography 汉明距离常数来自哪里

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函数popcount（x，n）{
如果（n！==未定义）{
x&=（1>1&0x5555
x=（x&0x33333333）+（x>>2&0x33333333）
x=x+（x>>4）和0x0F0F
x+=x>>8
x+=x>>16
返回x&0x7f
}

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是用于计算的。我想知道这些常量从何而来，以及这个方法是如何发现的。想知道是否有人知道描述它的资源。

有掩码选择偶数的k位部分，k=1表示0x555555，k=2表示0x33333333，k=4表示0x0F0F

在二进制中，遮罩看起来像：

0x55555555 = 01010101010101010101010101010101
0x33333333 = 00110011001100110011001100110011
0x0f0f0f0f = 00001111000011110000111100001111

它们也是0xFFFFFF/3、0xffffffff/5和0xffffffff/17的结果，但此算术细节在这种情况下可能没有用处

总的来说，这种计算汉明权重的方法具有树的形式，其中第一个相邻位被求和为2位数字，然后相邻的2位数字被求和为4位数字，依此类推

所有步骤都可以有以下形式：

x = (x & m[k]) + ((x >> k) & m[k])

其中，

m[k]

是选择偶数k位部分的掩码

但许多步骤都有捷径可供选择。例如，要对相邻位求和，只有4种情况需要考虑：

00 -> 00
01 -> 01
10 -> 01
11 -> 10

这可以通过提取两个位并求和来完成，但是

x-=x>>1&0x555555

也可以工作

00 -> 00 - 0 = 00
01 -> 01 - 0 = 01
10 -> 10 - 1 = 01
11 -> 11 - 1 = 10

也许这可以通过“聪明和洞察力”来发现，不管这些是什么

在步骤

x=（x+（x>>4））&0x0f0f

（为清晰起见，添加了额外的括号），使用了两个属性。前面步骤的结果是存储在4位中的4位字符串的汉明权重，因此它们最多为0100。这意味着可以将其中两个添加到位，而无需进行下一个更高的部分，因为它们的总和最多为1000，这仍然适用。因此，不要在总和之前屏蔽两次，在求和之后屏蔽一次就足够了，该屏蔽有效地将偶数的4位部分扩展为8位部分。这可以通过考虑每一步的最大值来发现

步骤

x+=x>>8

有类似的推理，但效果更好，即使在不需要求和后屏蔽，也会留下一些“杂散位”在底部的第二个字节和顶部的字节中，但这不会破坏下一步：16丢弃底部的第二个字节，最后用

x&0x7f

删除所有杂散位

00 -> 00 - 0 = 00
01 -> 01 - 0 = 01
10 -> 10 - 1 = 01
11 -> 11 - 1 = 10