Cryptography 密码系统素数的辅助查找

我是一名大学生，有一项作业要求寻找大素数。教授给了我下面的“简单”算法来寻找2个可能的素数

生成随机a和p，其中1

确认gcd（a，p）为=1——假设这将删除Carmichael数字编辑（意味着等于1）

执行“模幂运算” 如果x^（p-1）%p=1，其中x从零开始，递增至p-1 对于p和a

第三步的示例

假设p=5

1^4%5=1

2^4%5=1

3^4%5=1

4^4%5=1

这表明5是素数

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通过这次作业，我意识到计算素数绝非玩笑。我看到的上述算法的问题是，如果我猜测大数并用模幂运算测试它们，我可能会尝试将大数提升为大数。这使我产生了怀疑。我也研究过确定性有限自动机和埃拉托斯提尼筛。有人对改进给定的算法或提供任何帮助有什么建议吗？谢谢您的时间。

不久前，我用C#编写了一些函数供个人使用。我希望这对你有好处

公共长tmp； public long[]tabnum=新长[1]

公共无效初始值（长数值） { 长时间休息； 长里索

 // 2 is only number pair prime
 tabnum[0] = 2;

 for (tmp = 3; tmp <= NUM; tmp++)
 {
     if ((tmp % 2) == 0) continue;// if num it's pair is not prime

     for (long Y = 0; Y < tmp; Y++)
     {
          riso = Math.DivRem(tabnum[Y], tmp, out Resto);
          if (Resto == 0) break;
          if(riso <= tabnum[Y]) 
          {
                 Array.Resize(ref tabnum, tabnum.Length + 1);
                 tabnum[tabnum.Length - 1] = tmp;
                 List1.Items.Add(tmp.ToString("###,###"));
                 break;
           } 
      }
  }

//2是唯一的数对素数
tabnum[0]=2；
对于（tmp=3；tmp而言，您所遵循的算法称为。但是，您的解释存在几个问题：


你说“确认gcd（a，p）小于1”。这没有意义，因为gcd永远不会小于1。你可以检查的是gcd（a，p）==1。如果它不是1，那么p不是素数。这可以检测卡迈克尔数，但这样做的机会很小

测试的方法是，对于p的某个值，你选取a的几个随机值，并检查a^（p-1）%p==1。如果其中一个值不是1，那么p就不是素数。你选取的a值越多，你的精确度就越好

您当然不能像您所说的那样检查x的所有值，因为要检查的值太多了

有一种快速执行模幂运算的方法，即使对于大的基数和指数也是如此。请参阅。您仍然需要一种方法来对大整数执行乘法和模幂运算

Eratosthenes筛只对寻找小素数有用

此测试可能会错误地确定Carmichael数是素数。其他算法（如）不存在此问题

用C#表示有点简单。我不知道它的速度是否会更快

bool IsPrime(long n)
    {
        if (n == 1)
        {
            return false;
        }

        if (n < 4)
        {
            return true;
        }

        if ((n % 2) == 0)
        {
            return false;
        }

        if (n < 9)
        {
            return true;
        }

        if ((n % 3) == 0)
        {
            return false;
        }

        long r = (long)Math.Floor(Math.Sqrt(n));
        long f = 5;
        while (f <= r)
        {
            if ((n % f) == 0)
            {
                return false;
            }

            if ((n % (f + 2)) == 0)
            {
                return false;
            }

            f += 6;
        }

        return true;
    }

bool IsPrime（长n）
{
如果（n==1）
{
返回false；
}
if（n<4）
{
返回true；
}
如果（（n%2）=0）
{
返回false；
}
if（n<9）
{
返回true；
}
如果（（n%3）==0）
{
返回false；
}
long r=（long）Math.Floor（Math.Sqrt（n））；
长f=5；
虽然（f）这对于寻找密码学所需规模的大素数没有用处。比另一个更糟。“比另一个更糟”。Thanx，但有效。这对大数不合适，我知道。你有其他最好的算法吗？：）-1：考虑到他们需要大素数，以及教授建议使用随机算法，这是完全不切实际的。-1：除了long中低端的数字外，它不会更快，而且不会回答问题，因为作业不允许选择较慢但更简单的算法测试。白痴：修改很简单格雷格：OP从来没有提到不能使用不同的算法。（但就像我说的，我不知道上面的算法有多高效。）Bignum类不是这里的问题。对于加密所需大小的素数，您可以让它运行数百万年，但它仍然不会返回。即使您将
long
替换为
bitineger
也没有用。对于非常小的素数，例如2^256，这需要大约2^128次迭代，这将花费非常长的时间。I与检测其他至少有3个素数因子的复合非卡迈克尔数相比，gcd测试无法更好地检测卡迈克尔数。它只是随机寻找公因子。由于gcd（a，p）！=1意味着a^（p-1）%p！=1，因此完全没有必要检查gcd（a，p）==1。如果您确实在寻找卡迈克尔数字，则可能必须进行此测试。
bool IsPrime(long n)
    {
        if (n == 1)
        {
            return false;
        }

        if (n < 4)
        {
            return true;
        }

        if ((n % 2) == 0)
        {
            return false;
        }

        if (n < 9)
        {
            return true;
        }

        if ((n % 3) == 0)
        {
            return false;
        }

        long r = (long)Math.Floor(Math.Sqrt(n));
        long f = 5;
        while (f <= r)
        {
            if ((n % f) == 0)
            {
                return false;
            }

            if ((n % (f + 2)) == 0)
            {
                return false;
            }

            f += 6;
        }

        return true;
    }