Design patterns 二进制位模式组合计数

我正在寻找一种算法，该算法将计算

n位

字中等于或小于小于小于

2^n

的任意限制的二进制位模式数。此外，我想为所有

1位

组合、

2位

组合等生成计数。显然，如果限制为

2^n

，则会有

2^n

组合

（C（n，1）1位组合加上C（n，2）2位加上C（n，3）3位等等）

。但是，如果施加了限制，并非所有这些可能的组合都是有效的（低于施加的限制）

例如，说

n=4

。有16种可能的位模式，其中15种包含1个或多个

1位

。如果限制为10，则大于10的模式将不包括在计数中。因此，对于单位模式，有效的模式将是

0001

、

0010

、

0100

和

1000

。两位模式将是

0011

，

0101

，

0110

，

1001

。模式

1010

和

1100

将不被计算，因为它们超过10。唯一的3位将是

0111

，而唯一的4位模式

1111

超出了限制

如果

F

是我的计数函数，

F（4,10,1）

将返回4，即小于10的1位

4位

模式数

F（4,10,2）

将返回4，其中as

C（4,2）

是6。因为

n

的实际值可能很大（40或40位），所以枚举可能的模式、针对限制进行测试以及计算有效模式是不切实际的

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关于如何有效地完成这项工作，你有什么想法吗？

既然这是一个家庭作业问题，你为什么不提出你的想法，我们可以给你一些建议。你总是可以设计一个低效的算法，并对其进行分析，以尝试创造效率…

将低于限制的范围分解为大小为2^m的区域，使用固定前缀，并考虑前缀中设置的位。

只是一个提示，但尝试以归纳/递归的方式（无论你喜欢哪个名字）攻击它；将问题简化为更小的实例。

好主意；OP也很好地表达了他的问题，因此我期待他提出一些好的建议！