Dynamic 背包最大利润

共有4项：A砝码2LB的利润为40美元，B砝码5LB的利润为30美元，C砝码10LB的利润为50美元，D砝码5LB的利润为10美元。计算背包重量为16磅的4件物品中任何一件的最大总利润。你不能拿走一件物品的任何部分，只能拿走整个

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请说明如何用背包问题的方法来解决上述问题。

< P>一个简单的解决方案是考虑项目的所有子集，并计算所有子集的总重量和值。然后，你应该只考虑那些重量小于或等于背包容量的子集。从所有这些子集中，选择最大值子集

考虑项目的所有子集，每个项目可以有两种情况：

• 该项包含在最佳子集中
• 该项不包括在最佳子集中

假设你背包的容量是W。因此，从n项中可以获得的最大值是以下两个值的最大值

通过n-1项目和W重量获得的最大值（不包括第n项）

第n项的值加上通过n-1项和W减去第n项的重量（包括第n项）获得的最大值

如果第n个项目的重量大于W，则第n个项目不能包括在内，案例1是唯一的选项。这将是一种幼稚的方法，解决方案需要2n时间

现在，对于重叠子问题：

weight = {2, 5, 10, 5}
Capacity = 16
The recursion tree would look like:       
// Here n,k -> items remaining, capacity remaining
// Going to left child -> including the item at hand
// Going to right child -> excluding the item at hand
                       _______4,16______    
                      /                 \   
                     /                   \
                  3,14                     3,16
                 /    \                    /   \
                /      \                  /     \
             2,9        2,14             2,5     2,16
              \          / \             \         / \
               \        /   \             \       /   \__
               1,9   1,4   1,14          1,5     1,6     1,16
              /\            /\          /\       /\        /  \
             /  \          /  \        /  \     /  \      /    \
           0,4  0,9      0,9  0,14    0,0 0,0  0,1  0,6   0,11   0,16

由于叶中存在重叠的子问题，我们可以使用动态规划来解决它。如果您存储了这些值，那么以后使用它们会很有效。这里匹配发生在叶节点中，如果您举其他示例，您将看到匹配可能发生在叶节点之前很远的地方

伪代码如下所示：

Procedure Knapsack(n, W):    //here, n = number of items, W = capacity of Knapsack
for i from 0 up to n
    for j from 0 up to W
        if i == 0 or j == 0
            table[i][j] :=0
        else if weight[i-1] <= j
            table[i][j] := max(profit[i-1] + table[i-1][w-weight[i-1]], table[i-1][j])
        else
            table[i][j] := table[i-1][j]
        end if
    end for
end for
Return table[n][W]

程序背包（n，W）：//这里，n=物品数量，W=背包容量
对于从0到n的i
对于从0到W的j
如果i==0或j==0
表[i][j]：=0
否则，如果权重[i-1]投票结束，因为OP没有显示任何研究成果。