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Floating point IEEE浮点错误会让我错过素数搜索中的一个因素吗？

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Floating point IEEE浮点错误会让我错过素数搜索中的一个因素吗？,floating-point,primes,Floating Point,Primes,在简单的素性检查中，常见的做法是检查从2到max=floor（sqrt（n））的除数 在IEEE定义的浮点运算（例如32位和64位数字）中，浮点错误是否会使您错过略大于max的因子 例如，max=floor（sqrt（REALLY_BIG_N）），但是（max+1）*something=REALLY_BIG_N 如果我的问题不完全清楚，请评论 （请注意，我对这里的素性检查选项不感兴趣，也不想通过使用x*xn，其中d是试用除数，n是被测试的数字。如果必须计算平方根，请编写只使用整数算术的函数；牛

在简单的素性检查中，常见的做法是检查从2到
max=floor（sqrt（n））
的除数

在IEEE定义的浮点运算（例如32位和64位数字）中，浮点错误是否会使您错过略大于
max
的因子

例如，
max=floor（sqrt（REALLY_BIG_N））
，但是
（max+1）*something=REALLY_BIG_N

如果我的问题不完全清楚，请评论

（请注意，我对这里的素性检查选项不感兴趣，也不想通过使用
x*x
来避免
sqrt
——我的问题实际上是它是否适用于IEEE浮点算法。）

否

我假设
max+1
可以表示为浮点值（它不会太大，以至于超出了浮点格式可以表示区间中所有整数的区间）

我还假设你的
（max+1）*something
中的
something
是大于
max
的整数。否则，它（或更小的因子）将在之前的除数搜索中找到。这意味着n≤ （最大+1）•（最大+1）

正确实现的
sqrt
返回最接近其参数平方根的可表示值。因此，如果
n
的数学平方根至少为
x+1
，则
sqrt（n）
必须返回
x+1
或更大；它不能返回
x
，因为
x
比
x+1
离平方根更远。因此，
max=floor（sqrt（n））的结果不小于floor（sqrt（n））的数学值


对于IEEE-754 64位二进制（以下简称为“双精度”
），所有高达253的整数都是可表示的。253+1是第一个不可表示的整数。因此，上面告诉我们，
sqrt（n）
足以满足所有
n
到但不包括（253+1）2的要求。当然，许多大的整数在
double
中并不完全可表示，因此首先不能将它们传递给
sqrt
。

在处理素数时没有理由使用浮点运算。曾经您不应该计算
max
，而应该循环到
d*d>n
，其中
d
是试用除数，
n
是被测试的数字。如果必须计算平方根，请编写只使用整数算术的函数；牛顿的方法对整数非常有效

编辑：这里有一个计算整数平方根的简单函数：给定一个整数
n
，
isqrt（n）
返回最大的整数
*x
，其中
x*x
不超过
n
；所有除法都是整数除法，用于截断任何分数余数：

function isqrt(n)
    x := n
    y := (x + n // x) // 2
    while y < x
        x := y
        y := (x + n // x) // 2
    return x

函数isqrt（n）
x:=n
y:=（x+n//x）//2
而y
补充Eric Postpichil的回答：是的，然后又是否。这取决于我们在
n
非常大的情况下如何解释
floor（sqrt（n））

在Eric的回答中，假设IEEE 754 binary64格式浮点和正确舍入的
sqrt
，通常的舍入与偶数舍入模式有效。我还假设访问
n
的任意精度整数类型

第一种解释：假设允许
n
接受任何整数值，并且
floor（sqrt（n））
将被解释为
floor（sqrt（convert_to_double（n））
。然后，
n>=2^1024-2^970
会立即出现问题，因为
convert\u to\u double
会在该点溢出。（我假设
convert_to_double
也是正确的四舍五入。）从另一端开始，Eric的回答已经表明，我们很擅长但不包括
n=（2^53+1）^2
，正如他所建议的，
n=（2^53+1）^2
是一个问题案例：有
convert_to_double（n）
的值
2^106+2^54
，比真实值小一个，
sqrt（convert_to_double（n））
将四舍五入到
2^53
，这意味着您的试算除法函数将错过系数
2^53+1
。然而，考虑到
2^53+1
可以被
3
和
107
整除，审判庭可能已经发现了其他因素，因此缺少
2^53+1
可能不是问题。在这种情况下，
n=（2^53+5）^2
应被视为第一个问题案例。（
2^53+5
为素数。）

第二种解释：假设
n
被约束为一个正整数，可以用double表示。然后一个整洁的事实是，
n
的任何除数也必须精确地表示为双精度：
n
可以写成
m•2^e
的形式，对于一些非负指数
e
和奇数整数
m
和
m<2^53
，对于
m
的一些除数
d
和
0的指数
f
，n
的任何除数都可以写成
d•2^f
的形式，你是说
float
而不是
float
，比如
max=floor（sqrt（REALLY_BIG_n））
！我更新了-谢谢。我认为这比这更容易：如果
n
是一个整数，可以精确表示为IEEE 754二进制双精度，那么很容易看出
n
的所有除数也可以精确表示。现在，对于任何除数
x
，如果n的精确平方根是
=x
，那么与
sqrt（n）
最近的可表示双精度也必须是