Floating point 将浮点数转换为保证转换回原始浮点数的有理数

我正在寻找一种算法，将一个浮点数转换为一个有理数，这样可以保证有理数的计算返回到原始浮点数，并且分母最小化

一个简单的算法可以将浮点的实际值返回为X/2N，但是对于任何不是有限二进制分数的东西，2N往往都非常大。例如，当存储在双精度浮点中时，数字0.1实际上近似为3⁶⁰²⁸⁷⁹⁷⁰¹⁸⁹⁶³⁹⁷⁄₃₆₀₂₈₇₉₇₀₁₈₉₆₃₉₆₈ （分母为255）。但是，将0.1转换为1/4₁₀ 显然更好，并且₁₀ 将评估为3⁶⁰²⁸⁷⁹⁷⁰¹⁸⁹⁶³⁹⁷⁄₃₆₀₂₈₇₉₇₀₁₈₉₆₃₉₆₈ 在浮点运算下

一个相关的问题是打印小数位数最少的浮点数（这描述了一些技术），这可以被认为是这个问题的一个特殊版本，还有一个额外的限制，即分母必须是10的幂

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有，而且可能更多，但它们没有转换后的有理数必须计算为原始浮点的约束。

让我们从一个定义开始，该定义精确地确定在任何特定情况下我们要寻找的分数：

定义。说一个分数

a/b

比另一个分数

c/d

更简单（两个分数都是用最低的术语写的 正分母）如果

b=3.9，则提供一个函数
math.nextafter
，允许我们从
x
上下检索下一个浮点数。下面是一个对最接近π的浮点数执行此操作的示例：

导入数学
>>>x=3.141592653589793
>>>x_plus=math.nextafter（x，math.inf）
>>>x_减号=数学下一步（x，0.0）
>>>x_加，x_减
(3.1415926535897936, 3.1415926535897927)

（请注意，一般来说，要做到这一点，我们还需要处理特殊情况，

x

是最大的可表示浮点，

math.nextafter（x，math.inf）

给出无穷大。）

四舍五入到

x

的间隔边界位于

x

和相邻浮点数之间的中间位置。Python允许我们将浮点值转换为相应的精确值作为分数：

>>从分数导入分数
>>>左=（分数（x）+分数（x_减））/2
>>>右=（分数（x）+分数（x_+）/2
>>>打印（左、右）
14148475504056879/4503599627370496 14148475504056881/4503599627370496

我们还需要知道我们有一个封闭的还是开放的区间。我们可以查看位表示来了解这一点（这取决于浮点的最低有效位是

0

还是

1

），或者我们可以只测试看看我们的区间端点是否舍入到

x

：

浮动（左）=x 符合事实的 >>>浮动（右）=x 符合事实的 是的，所以我们有一个封闭的时间间隔。这可以通过查看浮点的十六进制表示来确认：

>>x.hex（）
'0x1.921FB542D18P+1'

因此，我们可以使用

simplest\u in\u closed\u interval

，找到四舍五入到

x

的最简单分数：

>>>最简单的间隔（左、右）
分数（24585092278256779）
>>>245850922/78256779==x
符合事实的

把它们放在一起 虽然核心算法很简单，但有足够多的角落案例需要处理（负值、开放与闭合区间、

sys.float\u info.max

等），完整的解决方案最终有点过于混乱，无法在这个答案中完整发布。不久前，我编写了一个名为

simplefractions

的Python包，该包处理所有这些极端情况；是的。这就是它的作用：

>>>从simplefraction从\u float导入最简单的\u
>>>最简单的浮点数（0.1）
分数（1,10）
>>>来自浮点数的最简单浮点数（-3.3333）
分数（-10,3）
>>>最简单的浮点数（22/7）
分数（22,7）
>>>输入数学
>>>最简单的浮点数（math.pi）
分数（24585092278256779）

让我们从一个定义开始，该定义准确地确定了我们在任何特定情况下要寻找的分数：

定义。说一个分数

a/b

比另一个分数

c/d

更简单（两个分数都是用最低的术语写的 正分母）如果

b=3.9，则提供一个函数
math.nextafter
，允许我们从
x
上下检索下一个浮点数。下面是一个对最接近π的浮点数执行此操作的示例：

导入数学
>>>x=3.141592653589793
>>>x_plus=math.nextafter（x，math.inf）
>>>x_减号=数学下一步（x，0.0）
>>>x_加，x_减
(3.1415926535897936, 3.1415926535897927)

（请注意，一般来说，要做到这一点，我们还需要处理特殊情况，

x

是最大的可表示浮点，

math.nextafter（x，math.inf）

给出无穷大。）

四舍五入到

x

的间隔边界位于

x

和相邻浮点数之间的中间位置。Python允许我们将浮点值转换为相应的精确值作为分数：

>>从分数导入分数
>>>左=（分数（x）+分数（x_减））/2
>>>右=（分数（x）+分数（x_+）/2
>>>打印（左、右）
14148475504056879/4503599627370496 14148475504056881/4503599627370496

我们还需要知道我们有一个封闭的还是开放的区间。我们可以查看位表示来了解这一点（这取决于浮点的最低有效位是

0

还是

1

），或者我们可以只测试看看我们的区间端点是否舍入到

x

：

浮动（左）=x 符合事实的 >>>浮动（右）=x 符合事实的 是的，所以我们