Floating point 是52位还是53位浮点精度？

我一直看到64位IEEE浮点表示法中53位精度的胡说八道。有人能给我解释一下，在这个世界上，一个1是如何影响数字精度的？如果一个浮点单元的位0与1固定在一起，您当然会知道它产生的精度比正常情况下低1位。这些情感在哪里

此外，只有指数（不带尾数的比例因子）完全指定数字的前导位的确切位置，因此不会使用前导位。第53洞与第19洞一样真实。它仅仅是一根（有用的）拐杖，可以帮助人类思维和逻辑以二进制形式访问这些值。否则就等于重复计算

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不是所有声称这53位废话的书和文章都错了，就是我是个白痴。但是卡住的一点就是卡住的一点。让我们听听相反的论点。

IEEE-754 64位二进制浮点对象的数学意义1有53位。它是用52位字段（专用于有效位）和指数字段（指示第53位是0还是1）中的一些信息的组合进行编码的

由于主有效位字段是52位，有些人将有效位称为52位，但这是一个草率的术语。有效位字段不包含有关有效位的所有信息，完整的有效位为53位

有效位的前导位从未被使用（与1以外的任何内容一样），这是不正确的。当指数的编码为0时，有效位的前导位为0，而不是更频繁的1

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1“有效位”是首选术语，而不是“尾数”。有效位是线性的，尾数是对数的。

这里的关键概念是“规范化”。在一般的科学记数法中，每个值都有许多表示形式。这使得算术，尤其是比较，比必要的更难。常见的解决方案是要求有效位的最高有效位为非零。例如，我使用的第一个浮点系统是base 16，有效位的前导位数在1到F之间

这对二进制浮点有特殊的效果。有效位的最高有效位是非零位。在已知为非零的位上浪费物理表示中有限数量的位是没有意义的

IEEE 754 64位二进制文件中的正常数字具有53位有效位，其隐式前导位已知为1，其余52位存储在物理表示中

没有免费的午餐，这是有代价的。成本是对给定指数下可存储的数字的限制。对于大多数指数来说，这并不重要——数字只是用一个较小的指数存储，并且仍然使用一个不需要存储的前导位

这将是零指数的真正限制，因为没有更小的指数可供使用。IEEE 754二进制浮点通过以不同的方式存储非常小的数量级（指数为零）来解决这一问题。它们最多有52个有效位，全部存储，允许前导零。这使得非常小的数量级可以表示为非零数，但代价是精度降低

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无穷大和nan的存储方式不同，都是1的指数。

它并没有被卡住。指数将移动“卡住”位，使其不会被困在固定位置

事实上，隐藏位始终是归一化后的最高有效位。因为它总是在一个规范化的值中设置，所以显式保存它是没有意义的。省略它会稍微提高精度，这是一件好事

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因此，我们将存储0.xxx…xxx×2exp，而不是1.xxx…xxx×2exp，并在对其进行操作之前将整数部分设置为1。隐藏位确实会影响结果的值，而不是毫无意义地躺在那里。这与我们将十进制值的范围标准化为[0，1]时是一样的。在这种情况下，整数部分始终为零，可以省略（在某些文化中）。然后，如果E（指数的编码）为零，T（尾随有效位字段），则释放的空间可以用于另一个精度数字不为零，浮点数的值为（–1）**s•2**emin•（0+2**（1-p）•T），其中s为符号位，emin为最小指数（–1022为64位二进制），p为位精度（53为64位二进制，见表3.5）。因此，除零外，还有一些数字的前导位为零（前导位为以上表达式中的“0”。@ChrisCochran:关于“没有下溢的所有值”。值没有下溢；下溢是指在操作过程中，根据某些规则检测到微小的非零结果时发生的情况。您可能指的是“低于正常值的数”然而，次正规数是浮点表示的。另外，考虑64位浮点中相邻可表示值之间的差值与浮点值在同一范围内的53位整数中的相邻可表示值之间的差值相同。在64位FL中给出252个值。起始点，下一个可表示的值是252+1。在53位整数中给定252，下一个可表示的值是252+1。因此，当前导位在浮点中与53位整数的最高有效位在同一位置时，浮点与53位整数具有相同的精度。@Chris：同样，它们是低于正常值的，而不是低于f的低。这些术语具有IEEE 754-2008中定义的精确技术含义。事实上，有效位具有53位自由度，因为在正常情况下，当