Functional programming 如何提取Isabelle中的实例化变量？

我试图在伊莎贝尔身上证明以下几点：

theorem map_fold: "∃h b. (map f xs)  = foldr h xs b"
apply (induction xs)
apply auto
done

---

如何获得

h

和

b

的实例化值？

一种方法是使用

SOME

：

h := SOME h. ∃b. map f xs = foldr h xs b
b := SOME b. map f xs = foldr h xs b

使用你的

map\u fold

定理和一些摆弄

someI\u ex

，你可以证明用这些定义，

map f xs=foldr h xs b

确实成立

然而，虽然这在逻辑上为您提供了

h

和

b

的值，但我希望您不会对它们非常满意，因为您实际上看不到

h

和

b

是什么；而且（逻辑上）也没有办法做到这一点

在某些情况下，您还可以制定一个定理，说明“有

f

，

xs

，这样就没有

h

，

b

与

map f xs=foldr h xs b

一起存在了”，并进行挑剔以找到该语句的反例，但这种情况太复杂，无法挑剔，因为它必须在无限域上找到一个函数，这个函数依赖于无限域上的另一个函数

我不认为有什么方法可以让你从你证明为具体值的定理中，得到存在的见证人

h

和

b

。您只需通过检查感应情况来找到它们，并发现它们是

h=λx xs。f x#xs

和

b=[]

这是迄今为止最简单的解决方案

更新：证据提取 今天重读这篇文章时，我真的记得在伊莎贝尔身上确实存在证据提取。它要求为所有定理计算明确的证明项，因此您需要以Isabelle jedit-l HOL证明开始Isabelle。然后你可以这样做：

theorem map_fold: "∃h b. (map f xs)  = foldr h xs b"
  by (induction xs) auto

extract map_fold

这将定义类型为

（'a）的常量
映射
⇒ '（b）⇒ '单子⇒ （'a⇒ 'b名单⇒ 'b list）×b list

，即给定一个映射函数和一个列表，它为您提供了函数和初始状态，您必须将其放入

foldr

，以获得相同的结果。您可以使用

thm map\u fold\u def

查看定义。稍微简化一下，它看起来是这样的：

map_fold f xs = 
    rec_list (λx xa. default, []) (λx xa H. (λa b. f a # map f xa, default)) xs

这有点难读，但您可以看到

[]

和

fa#map f xa

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不幸的是，证明术语变得相当大，因此我怀疑这对于玩具示例以外的任何东西都没有多大用处。

有时用于此目的的方法是陈述一个示意引理：

schematic_lemma "map f xs = foldr ?h xs ?b"
apply (induct xs)
apply simp
...

类似于

simp

或

rule

的方法可以在证明过程中实例化原理图变量（统一的结果）。如果您能够完成证明，那么您可以只看得到的引理，看看最终的实例化是什么

请注意，原理图变量可能有点棘手：有时

simp

会实例化一个原理图变量，使当前目标很容易证明，但同时使其他子目标无法解决

在这个特定的例子中，Isabelle能够毫无问题地实例化？b，但它不能通过统一来确定？h。通常，带有函数类型的原理图变量处理起来要复杂得多

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最后，我做了一些Manuel建议的事情：首先，用普通变量表示引理（

lemma“map f xs=foldr h xs b”

）。然后看看归纳法的证明在哪里被卡住了，然后逐步完善这个陈述，直到它是可证明的。

噢，当然了。我怎么没有想到图解引理呢？我一定是老了。但是，是的，原理图变量的自动实例化可能有些棘手。