Functional programming 具有不同类型索引的相互归纳描述？

我使用描述，就像它们被描述一样，作为一种编码归纳数据类型形状的方式。但是，我一直在研究如何表示归纳类型：

相互感应

有不同的指数

例如，假设我们有这样的东西，我们订购不同的类型：

data Foo : Set where
  N : ℕ -> Foo 
  P : (Foo × Foo) -> Foo

data <N : ℕ -> ℕ -> Set where
  <0 : (n : ℕ) -> <N zero n
  <suc : (m n : ℕ) -> <N m n -> <N (suc m) (suc n)

data <P : (Foo × Foo) -> (Foo × Foo) -> Set 
data <F : Foo -> Foo -> Set 

data <P where
  <Pair : (x1 x2 y1 y2 : Foo) -> <F x1 y1 -> <F x2 y2 -> <P (x1 , x2) (y1 , y2)

data <F where
  <FN : ∀ (a b : ℕ) -> <N a b -> <F (N a) (N b)
  <FP : ∀ (p1 p2 : (Foo × Foo) ) -> <P p1 p2 -> <F (P p1) (P p2)

data Foo：设置位置
N:ℕ -> 福
P：（Foo×Foo）->Foo
资料ℕ -> 设定地点
设置
数据取所有指数之和：

Ix = ((Foo × Foo) × (Foo × Foo)) ⊎ (Foo × Foo)

data <P : Ix -> Set
data <F : Ix -> Set

data <P where
  <Pair : (x1 x2 y1 y2 : Foo) -> <F (inj₂(x1 , y1)) -> <F (inj₂(x2 , y2))
                              -> <P (inj₁((x1 , x2), (y1 , y2)))

data <F where
  <FN : ∀ (a b : ℕ) -> <N a b -> <F (inj₂(N a , N b))
  <FP : ∀ (p1 p2 : (Foo × Foo) ) -> <P (inj₁(p1 , p2)) -> <F (inj₂(P p1 , P p2))

Ix=（（Foo×Foo）×（Foo×Foo））⊎ （Foo×Foo）
数据Set
数据集
您可能会发现有用的数据。您所有的
@AndrásKovács Oops，都是一个错误。现在修复。为什么索引
Ix
by
Sort
？
data Ix : Set where
  <P : Foo × Foo → Foo × Foo → Ix
  <F : Foo → Foo → Ix

data T : Ix → Set where
  <Pair : ∀ x1 x2 y1 y2  → T (<F x1 y1) → T (<F x2 y2)
                         → T (<P (x1 , x2) (y1 , y2))
  <FN : ∀ (a b : ℕ) → <N a b → T (<F (N a) (N b))
  <FP : ∀ p1 p2 → T (<P p1 p2) → T (<F (P p1) (P p2))

<F : Foo → Foo → Set
<F (N n) (N n')              = <N n n'
<F (P (x , y)) (P (x' , y')) = <F x x' × <F y y'
<F (N _) (P _) = ⊥
<F (P _) (N _) = ⊥