Functional programming 在OCaml中折叠树

您可能知道，OCaml中有一些高阶函数，例如fold_left、fold_right、filter等

在我的函数编程课程中，介绍了名为fold_tree的函数，它类似于fold_left/right，不是在列表上，而是在（二进制）树上。看起来是这样的：

 let rec fold_tree f a t = 
  match t with
    Leaf -> a |
    Node (l, x, r) -> f x (fold_tree f a l) (fold_tree f a r);;

5 / \ () 2 / \ () () 其中，树定义为：

type 'a tree = 
  Node of 'a tree * 'a * 'a tree | 
  Leaf;;

---

好的，我的问题是：折叠树函数是如何工作的？你能给我举一些例子并用人类语言解释吗？

似乎

f

是一个三参数约简函数，

a

是我们约简的中性元素，

t

是根，所以：

给定一个类似的二进制代码（我记不太清楚变量类型的语法，所以请在这里居高临下）

如果要对所有节点求和，该函数的调用方式如下：

let add x y z = x + y + z
fold_tree add 0 r

我们将

t

匹配为一个节点，因此我们有：

(add 1 (fold_tree add 0 Node(Node(Leaf,3,Leaf),2,Node(Leaf,4,Leaf))) (fold_tree add 0 Node(Node(Leaf,6,Leaf),5,Node(Leaf,7,Leaf))))

如果我们再扩展一点，我们可以得到：

(add 1 (add 2 (fold_tree add 0 Node(Leaf,3,Leaf)) (fold_tree add 0 Node(Leaf,4,Leaf))) (add 5 (fold_tree add 0 Node(Leaf,6,Leaf)) (fold_tree add 0 Node(Leaf,7,Leaf))))

再一次，我们正在匹配树叶：

(add 1 (add 2 (add 3 0 0) (add 4 0 0)) (add 5 (add 6 0 0) (add 7 0 0))
(add 1 (add 2 3 4) (add 5 6 7))
(add 1 9 18)

要最终获得：

28

---

希望有帮助。

这里有一个风格建议，把横条放在这行的开头。它使案件从何处开始变得更加清楚。为了保持一致性，第一个栏是可选的，但建议使用

type 'a tree = 
  | Node of 'a tree * 'a * 'a tree
  | Leaf;;

let rec fold_tree f a t = 
    match t with
      | Leaf -> a
      | Node (l, x, r) -> f x (fold_tree f a l) (fold_tree f a r);;

---

关于它是如何工作的，请考虑下面的树：

let t = Node(Leaf, 5, Node(Leaf, 2, Leaf));;

使用类型

int-tree

从视觉上看，

t

如下所示：

 let rec fold_tree f a t = 
  match t with
    Leaf -> a |
    Node (l, x, r) -> f x (fold_tree f a l) (fold_tree f a r);;

5 / \ () 2 / \ () ()

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这将有助于了解每种情况下会发生什么。对于任何

叶

，将返回一个。对于任何

节点

，它将存储的值与折叠左右子树的结果组合在一起。在本例中，我们只是将每个叶数相加。这棵树的折叠结果是

10

下面是一种思考列表上的

右折叠

的方法：例如，列表就是

(1 :: (2 :: (3 :: [])))

然后用一个新的二进制操作代替：：（并用一个新常量代替[]）重新解释列表

如果您不想对列表执行任何操作，可以将函数

cons

作为函数传递，将空列表作为中性元素传递。所以从某种意义上说，

fold__right

非常通用：它甚至允许您不丢失任何信息

您问题中的

折叠树

与树的数据类型的想法相同。如果要重新解释树，可以为将要应用的节点传递一个新函数，而不是构造函数

节点

。如果你想得到一个相同的树，你可以用

Leaf

作为中性，用

（funxlr->Node（l，x，r））

作为函数来应用它。 与列表的

fold_left

类似，这个示例应用程序不是很有趣，但它意味着

fold_left

是一个非常通用的转换（技术术语是）

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例如，您还可以使用函数

（fun x l r->x+l+r）

对树的元素求和。

让我们以树为例

let t = Node (Node (Leaf, 10, Leaf), 1, Node (Node (Leaf, 20, Leaf), 11, Leaf))

操作的一般定义是，在树中的任意位置，用函数替换构造函数

general_fold_tree node leaf t =
    node (node leaf 10 leaf) 1 (node (node leaf 20 leaf) 11 leaf)

node

是从左某物、元素和右某物构造某物的函数，就像

node

是从左子树、节点内容和右子树构造树的构造函数一样

leaf

是一个常量，与

leaf

常量构造函数匹配

let rec general_fold_tree (node : 'b -> 'a -> 'b -> 'b) (leaf : 'a) (t : 'a tree) : 'b =
  let recurse t = general_fold_tree node leaf t in
  match t with
  | Node (l, x, r) -> node (recurse l) x (recurse r)
  | Leaf -> leaf

请注意，函数的类型与类型定义的类型相匹配，除了类型定义描述了树的构建，折叠函数描述了任何树的构建

看起来很像普通折叠的操作仍然称为折叠。例如，在列表上，

List.fold\u right

是根据上述定义的一般折叠<代码>列表。左折是一种变体，它反过来应用该功能（

左折

相当于反转+

右折

+反转，尽管它更清晰、更有效）

您自己的

fold_树

是这个普通fold的一个简单变体，其中节点函数以与构造函数不同的顺序获取其参数：

let equrts_fold_tree f a t =
  let node l x r = f x l r in
  general_fold_tree node a t

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这是在F#中，但F#与OCaml非常相似。

OP的

折叠树

函数采用三元函数作为参数，因此

（+）

不会对其进行剪切。是的，我在编写第一个函数时正在考虑Lisp，但是我已经修复了它：-p在OPs数据类型中，树的叶子上也没有附加数据。节点构造函数的参数的顺序是错误的。哎哟，我现在看到节点结构的顺序是错误的，但我没有纠正它！XDDDD感谢您提供了一个很好的示例；）。它帮助我理解了基础知识，现在我需要一些更难的东西。f接受3个参数，都是相同类型的树，并且返回相同的结果。一个是树的类型，另两个是任何相同类型的累加器，与叶匹配的默认值一致。@nlucaroni:这是为这个特定的示例编写的，但在其他方面你是对的。

let equrts_fold_tree f a t =
  let node l x r = f x l r in
  general_fold_tree node a t