Geometry 如何用三角剖分法确定点的位置

我正在从事定位无线传感器网络项目。我使用三角测量法估计无线传感器的位置，其中我有两个传感器，其位置已知：

A（x1，Y1）

和B（X2，Y2）

我要定位的点是c（x，y）

我有这些点之间的距离：

AB、AC和BC

我怎样才能用三角测量法做到这一点

a := dist(B,C), b := dist(A,C).
A := (a1,a2), B := (b1,b2), C := (x,y).

我们有

(x - a1)^2 + (y - a2)^2 = b^2           eq (1)
(x - b1)^2 + (y - b2)^2 = a^2

cos(theta) = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)    eq (3)

因此：

现在减去：

(2(b1) - 2(a1))x + (a1)^2 - (b1)^2 + 2((b2) - (a2))y + (a2)^2 - (b2)^2
    = b^2 - a^2

求解

y

：

y = u + vx                              eq (2)

其中：

u := ((a1)^2 + (a2)^2 - ((b1)^2 + (b2)^2) + a^2 - b^2)/(2((a2) - (b2)))
v := (2((b1) - (a1)))/(2((a2) - (b2)))

r := 1 + v^2
s := -2(a1) + 2uv - 2v(a2)
t := (a1)^2 + (uˆ2) - 2u(a2) + (a2)^2 - b^2

将上述等式1中的

y

替换为

u+vx

：

(x - a1)^2 + (u + vx - a2)^2 = b^2 

rx^2 + sx + t = 0

其中：

u := ((a1)^2 + (a2)^2 - ((b1)^2 + (b2)^2) + a^2 - b^2)/(2((a2) - (b2)))
v := (2((b1) - (a1)))/(2((a2) - (b2)))

r := 1 + v^2
s := -2(a1) + 2uv - 2v(a2)
t := (a1)^2 + (uˆ2) - 2u(a2) + (a2)^2 - b^2

求解

x

x = (-s +/- sqrt(s^2 - 4rt))/(2r)

根据等式2：

y = u + vx.

---

替代方法

将

a:=dist（B，C）

和

B:=dist（a，C）

如上所述，并将

C:=dist（a，B）

设为

theta

为角度

BAC

，如下所示

我们有

(x - a1)^2 + (y - a2)^2 = b^2           eq (1)
(x - b1)^2 + (y - b2)^2 = a^2

cos(theta) = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)    eq (3)

然后我们可以导出

h

和

c1

as

h := b * sin(theta) = b * sqrt(1 - cost(theta)^2).
c1 := b * cos(theta)

所以

在哪里

现在我们可以利用这样一个事实，

C

在距离

h

的垂直方向上与

AB

相交于

D

：

C := (d1, d2) +/- ((a2 - b2)*h/c, (b1 - a1)*h/c) 

其中，

+/-

表示

C

在

AC

行上方或下方的两种可能性

或

在哪里

---

示例

A = (2,3) - B = (5,4) - a = sqrt(5) - b = sqrt(5)

计算

c

：

c := dist(A,B) = 3.16227766016838.

来自等式（3）

计算

h

和

c1

：

h := b * sin(theta) = 1.58113883008419.
c1 := b * cos(theta) = 1.58113883008419.

根据等式（4）：

现在计算

C

：

C = ((a2 - b2)) * h / c , (b1 - a1) * h / c) + D
  = (-0.5,1.5) + (3.5,3.5)
  = (3,5)

核实：

dist(A,C) = dist((2,3),(3,5)) = sqrt(1ˆ2 + 2^2) = b (OK)
dist(B,C) = dist((5,4),(3,5)) = sqrt(2^2 + 1^2) = a (OK)

---

我遵循了你的链接，但我想要一个简单的例子来了解如何确定CI的C（X，Y）坐标没有答案，但它可以帮助我将问题形象化。首先，确保

AB

，因为。第二，你需要找到正确的答案。希望这在某种程度上有所帮助。这可能不是最优雅的方程组。但是，它将有望让您继续您的项目。如果有任何其他方法有助于确定未知点的位置？如果您将所有点从自身和

B

中减去

A

，将所有点转换为

A

，方程将更简单，因为这样你就摆脱了

a1

和

a2

（它们都变成了

0

）。所以你可以解决这个简单情况下的问题（包括重写

a1=a2=0

）然后将

A

添加到解中，得到

C

的实际坐标为

（x+a1，y+a2）。

我举了一些例子，但结果不匹配，这个算法的结果是近似的还是精确的？你能告诉我这个算法的来源吗？这样我就可以用它作为参考了。谢谢你，在等式x=（-s+/-sqrt（s^2-4rt））/（2r）[s+/-]中它意味着s+或s-？

D = (3.5,3.5)

C = ((a2 - b2)) * h / c , (b1 - a1) * h / c) + D
  = (-0.5,1.5) + (3.5,3.5)
  = (3,5)

dist(A,C) = dist((2,3),(3,5)) = sqrt(1ˆ2 + 2^2) = b (OK)
dist(B,C) = dist((5,4),(3,5)) = sqrt(2^2 + 1^2) = a (OK)