Haskell 就纯函数和liftA2而言，应用函子定律是什么？

我正在玩弄用

pure

和

liftA2

来表示Applicative（这样

（）=lifta2id

就变成了一个派生的组合词）

我能想到一大堆候选定律，但我不确定最小集是什么

f纯x=纯（f x）

f liftA2 g x y=liftA2（（f.）g）x y

lifta2f（纯x）y=fxy

lifta2fx（纯y）=liftA2（翻转f）（纯y）x

lifta2f（gx）（hy）=liftA2（\xy->f（gx）（hy））xy

---

根据麦克布莱德和帕特森（第7节），我建议对

liftA2

和

pure

采用以下法律

左右标识

关联性

自然性

目前还不清楚这些是否足以涵盖

fmap

和

Applicative

的

pure

和

liftA2

之间的关系。让我们看看能否从上述定律中证明

fmap f fx = liftA2 id (pure f) fx

我们将从

fmap f fx

开始。以下所有内容都是等效的

fmap f fx
liftA2 (\x _ -> x) (fmap f fx) (         pure y )     -- by right identity
liftA2 (\x _ -> x) (fmap f fx) (     id (pure y))     -- id x = x by definition
liftA2 (\x _ -> x) (fmap f fx) (fmap id (pure y))     -- fmap id = id (Functor law)
liftA2 (\x y -> (\x _ -> x) (f x) (id y)) fx (pure y) -- by naturality
liftA2 (\x _ -> f x                     ) fx (pure y) -- apply constant function

在这一点上，我们已经用

liftA2

、

pure

和any

y

编写了

fmap

<代码>fmap完全由上述法律决定。犹豫不决的作者将尚未证实的证据的剩余部分留给坚定的读者作为练习。

根据在线书籍，应用函子定律如下，但由于格式原因重新组织；但是，我正在使此帖子社区可编辑，因为如果有人可以嵌入派生，它将非常有用：

    identity]               v = pure id <*> v
homomorphism]      pure (f x) = pure f <*> pure x
 interchange]    u <*> pure y = pure ($ y) <*> u
 composition] u <*> (v <*> w) = pure (.) <*> u <*> v <*> w

---

liftA2

是用

和
来定义的，我不知道你为什么要用
liftA2
来定义
。是的，但是我想做一些类似于EZ Yang在他的文章中比较应用性和单项式的事情：
Applicative
与
pure
和
liftA2
与这个类相同，它有一个法律列表。使用
pure
和
liftA2
从
Monoidal
到
Applicative
。@Cirdec，整洁。很容易读懂
pure
和
liftA2
的相应定律吗？有趣的是，身份法则可以这样重写：
liftA2常量fx（pure y）==const fx（pure y y）
和
flip（liftA2（flip const））fx（pure y y）==const fx（pure y）
（或
liftA2（flip const）（pure x）fy==flip const（纯x）fy
），这可能会增加一个有趣的角度。
（）
应该不是
（a->b）->（b->c）->（a->c）
？
fmap f fx = liftA2 id (pure f) fx

fmap f fx
liftA2 (\x _ -> x) (fmap f fx) (         pure y )     -- by right identity
liftA2 (\x _ -> x) (fmap f fx) (     id (pure y))     -- id x = x by definition
liftA2 (\x _ -> x) (fmap f fx) (fmap id (pure y))     -- fmap id = id (Functor law)
liftA2 (\x y -> (\x _ -> x) (f x) (id y)) fx (pure y) -- by naturality
liftA2 (\x _ -> f x                     ) fx (pure y) -- apply constant function

    identity]               v = pure id <*> v
homomorphism]      pure (f x) = pure f <*> pure x
 interchange]    u <*> pure y = pure ($ y) <*> u
 composition] u <*> (v <*> w) = pure (.) <*> u <*> v <*> w

function composition]  (.) = (a->b) -> (b->c) -> (a->c)
application operator]    $ = (a->b) -> a -> b