Haskell 很难理解笛卡尔乘积中的变换foldr

我跟着去理解高阶函数的组合

我得到了一个重要的转变，我认为要直接理解它并不容易：

h [] xss = []
h (x : xs) xss =
 foldr f (h xs xss) xss where 
    f xs ys = (x: xs) : ys

为此：

h'' xs xss = 
foldr g [] xs where
    g x zss = foldr f zss xss where 
        f xs ys = (x : xs) : ys

甚至我也得到了这些帮助：

foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b
foldr f z [] = z
foldr f z (a:as) = f a (foldr f z as) 

-- change the name
h' :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b
h' f z [] = z
h' f z (a:as) = f a (h' f z as)  

---

所以我的问题是：解释转换容易吗？

本质上，它归结为

h

是

xs

上的递归函数，而

foldr

概括了列表上的递归。注意

h

如何在尾部调用自身

xs

，就像

foldr

在尾部调用自身

as

---

通过对

ws

的归纳，证明

hws-xss=h''ws-xss

。归纳法推理有两种情况：

基本情况，

ws=[]

h [] xss = []  -- by definition of h

h'' [] xss
= foldr g [] xss  -- by definition of h''
= []              -- by definition of foldr

归纳步骤，

ws=x:xs

，假设

hxs-xss=h''xs-xss

（归纳假设）

---

首先创建一个内部函数，不使用第二个参数

xss

，该参数仅执行标准列表递归：

h []     xss = []
h (x:xs) xss = foldr f (h xs xss) xss
  where 
    f xs ys = (x:xs) : ys

  -->

h xs xss = h' xs
  where
    h' []     = []
    h' (x:xs) = foldr f (h' xs) xss
      where
        f xs ys = (x:xs) : ys

然后，让我们看看如何使用另一个作用于

x

和递归调用结果

h'xs

的辅助函数来抽象出

h'

中的递归模式：

h xs xss = h' xs
  where
    h' []     = []
    h' (x:xs) = g x (h' xs)
    g x zss = foldr f zss xss
      where 
        f xs ys = (x:xs) : ys

如果我们不想在

h'

中显式写出列表递归，那么这就是我们将传递给

foldr

的帮助函数：

h xs xss = foldr g [] xs
  where
    g x zss = foldr f zss xss
      where 
        f xs ys = (x:xs) : ys

---

提供

h

和

h'

的类型也会很有帮助。helper func

g

类似于

foldr

定义中的

f

，其中

f

是需要传递的参数。这里

g

就像在运行时一样放在那里。很好，很清楚。如果有人想看一下：

h xs xss = foldr g [] xs
  where
    g x zss = foldr f zss xss
      where 
        f xs ys = (x:xs) : ys