在Haskell中测试四个点是否形成正方形

在一个网站上，我发现了以下挑战，被抓住了，我不知道如何解决它。我们需要定义以下函数：

isSquare:：（数a，词a）=>（a，a）->（a，a）->（a，a）->（a，a）->Bool

这样，当点是正方形的顶点时返回True，当点不是正方形的顶点时返回False

isSquare (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)    == True
isSquare (0,0) (0,2) (3,2) (3,0)    == False
isSquare (0,0) (3,4) (8,4) (5,0)    == False
isSquare (0,0) (0,0) (1,1) (0,0)    == False

我试过这个：

定义计算点之间距离的函数

将距离映射到由点构成的列表

如果距离相等，则

True

---

如果有点p1、p2、p3和p4，则计算距离d1=| p1 p2 |，d2=|p1 p3 |，d3=| p1 p4 |，d4=| p2 p3 |，d5=| p2，p4 |，d6=| p3 p4 |。（您还可以计算距离的平方…）

看看你得到了多少不同的距离值。如果只有两个不同的值，则一个用于4条边的长度，另一个用于2条对角线的长度，并且有一个正方形

如果有两个以上的不同值，则它不是正方形

---

实现提示：创建一个距离列表，然后查看列表函数。

如果有点p1、p2、p3和p4，则计算距离d1=| p1 p2 |，d2=| p1 p3 |，d3=| p1 p4 |，d4=| p2 p3 |，d5=| p2，p4 |，d6=| p3 |。（您还可以计算距离的平方…）

看看你得到了多少不同的距离值。如果只有两个不同的值，则一个用于4条边的长度，另一个用于2条对角线的长度，并且有一个正方形

如果有两个以上的不同值，则它不是正方形

---

实现提示：创建一个距离列表，然后查看列表函数。

我确信有很多方法可以解决这个问题，但这是我第一次想到的方法

import Data.Functor
import Data.Maybe
import Control.Applicative
import Control.Monad

首先，让我们为二维向量定义一个类型，并对其进行一些基本操作。我们需要能够加和减，并使用点积来测试正交性

data V2 a = V2 a a
  deriving Eq

(^+), (^-) :: Num a => V2 a -> V2 a -> V2 a
V2 x y ^+ V2 x' y' = V2 (x + x') (y + y')
V2 x y ^- V2 x' y' = V2 (x - x') (y - y')
infixl 6 ^+, ^-

dotProduct :: (Num a) => V2 a -> V2 a -> a
dotProduct (V2 x y) (V2 x' y') = (x * x') + (y * y')

orthogonal :: (Eq a, Num a) => V2 a -> V2 a -> Bool
orthogonal a b = dotProduct a b == 0

我们还将定义一条线段：

data LineSegment a = LineSegment (V2 a) (V2 a)

isSquare

函数将首先获取前三个点，并查看它们是否形成直角三角形。让我们定义一个直角三角形类型，以及一个函数，如果三个点之间有直角，则将它们转换为直角三角形

data RightTriangle a =
  RightTriangle
    (V2 a)          -- Point at the right angle
    (LineSegment a) -- Hypotenuse

rightTriangleMaybe :: (Eq a, Num a)
  => V2 a -> LineSegment a -> Maybe (RightTriangle a)
rightTriangleMaybe x hyp@(LineSegment a b) =
  guard (orthogonal (x ^- a) (x ^- b)) $> RightTriangle x hyp

rightTriangleMaybe' :: (Eq a, Num a)
  => V2 a -> V2 a -> V2 a -> Maybe (RightTriangle a)
rightTriangleMaybe' a b c =
  rightTriangleMaybe a (LineSegment b c) <|>
  rightTriangleMaybe b (LineSegment a c) <|>
  rightTriangleMaybe c (LineSegment a b)

---

我相信有很多方法可以解决这个问题，但这是我第一次想到的

import Data.Functor
import Data.Maybe
import Control.Applicative
import Control.Monad

首先，让我们为二维向量定义一个类型，并对其进行一些基本操作。我们需要能够加和减，并使用点积来测试正交性

data V2 a = V2 a a
  deriving Eq

(^+), (^-) :: Num a => V2 a -> V2 a -> V2 a
V2 x y ^+ V2 x' y' = V2 (x + x') (y + y')
V2 x y ^- V2 x' y' = V2 (x - x') (y - y')
infixl 6 ^+, ^-

dotProduct :: (Num a) => V2 a -> V2 a -> a
dotProduct (V2 x y) (V2 x' y') = (x * x') + (y * y')

orthogonal :: (Eq a, Num a) => V2 a -> V2 a -> Bool
orthogonal a b = dotProduct a b == 0

我们还将定义一条线段：

data LineSegment a = LineSegment (V2 a) (V2 a)

isSquare

函数将首先获取前三个点，并查看它们是否形成直角三角形。让我们定义一个直角三角形类型，以及一个函数，如果三个点之间有直角，则将它们转换为直角三角形

data RightTriangle a =
  RightTriangle
    (V2 a)          -- Point at the right angle
    (LineSegment a) -- Hypotenuse

rightTriangleMaybe :: (Eq a, Num a)
  => V2 a -> LineSegment a -> Maybe (RightTriangle a)
rightTriangleMaybe x hyp@(LineSegment a b) =
  guard (orthogonal (x ^- a) (x ^- b)) $> RightTriangle x hyp

rightTriangleMaybe' :: (Eq a, Num a)
  => V2 a -> V2 a -> V2 a -> Maybe (RightTriangle a)
rightTriangleMaybe' a b c =
  rightTriangleMaybe a (LineSegment b c) <|>
  rightTriangleMaybe b (LineSegment a c) <|>
  rightTriangleMaybe c (LineSegment a b)

---

我们创建一个函数，返回两点之间的笛卡尔距离：

dist (x1, y1) (x2, y2) = sqrt $ (x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1)

我们可以从每个点计算到其他三个点的距离

对于正方形，这些距离对于每个点都是相同的，其形式为

[a，a，sqrt（2*a^2）]

。可以测试以下各项，以确定给定的点集形成正方形：

• 所有的距离列表都是相同的
• 较短的两个距离相等
• 最长距离=sqrt（2*a^2），其中a是短距离

实际上，我们不需要为所有的点建立上述条件，所以您可以从下面的函数中切掉几行

这里d1、d2、d3和d4是每个点的排序距离列表

例如：

对于点

（0,0）（0,1）（1,1）（1,0）

点（0,0）的排序距离列表为

[1,1,1.414]

* distance to (0,1) = 1
* distance to (1,0) = 1
* distance to (1,1) = sqrt(2) ~ 1.414

同样，所有其他点的距离列表为

[1,1,1.414]

* distance to (0,1) = 1
* distance to (1,0) = 1
* distance to (1,1) = sqrt(2) ~ 1.414

我们通过映射列表上的部分距离函数来计算距离，然后进行排序，以确保较短的距离位于头部

然后我们可以查看距离列表，确保前两个元素相等

d1!!0 == d1!!1

对角线距离等于两条边距离平方和的平方根

sqrt((d1!!0)^2+(d1!!1)^2) == d1!!2

您可以将最后一个条件等效为

(d1!!0)^2+(d1!!1)^2 == (d1!!2)^2 

实际上，正如user@dfeuer所指出的，我们可以使用平方距离来建立一组点，即一个正方形。然后，这些函数可以写成

dist (x1, y1) (x2, y2) = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2

isSquare (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) (x4,y4) =
  let m1 = dist (x1,y1)
      m2 = dist (x2,y2)
      m3 = dist (x3,y3)
      m4 = dist (x4,y4)
      d1 = sort $ map m1 [(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)]
      d2 = sort $ map m2 [(x1,y1),(x3,y3),(x4,y4)]
      d3 = sort $ map m3 [(x1,y1),(x2,y2),(x4,y4)]
      d4 = sort $ map m4 [(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)]
  in d1 == d2 && d2 == d3 && d3 == d4 && d1!!0 == d1!!1 && 2*d1!!0 == d1!!2

---

我们创建一个函数，返回两点之间的笛卡尔距离：

dist (x1, y1) (x2, y2) = sqrt $ (x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1)

我们可以从每个点计算到其他三个点的距离

对于正方形，这些距离对于每个点都是相同的，其形式为

[a，a，sqrt（2*a^2）]

。可以测试以下各项，以确定给定的点集形成正方形：

• 所有的距离列表都是相同的
• 较短的两个距离相等
• 最长距离=sqrt（2*a^2），其中a是短距离

实际上，我们不需要为所有的点建立上述条件，所以您可以从下面的函数中切掉几行

这里d1、d2、d3和d4是每个点的排序距离列表

例如：

对于点

（0,0）（0,1）（1,1）（1,0）

点（0,0）的排序距离列表为

[1,1,1.414]

* distance to (0,1) = 1
* distance to (1,0) = 1
* distance to (1,1) = sqrt(2) ~ 1.414

同样，所有其他点的距离列表为

[1,1,1.414]

* distance to (0,1) = 1
* distance to (1,0) = 1
* distance to (1,1) = sqrt(2) ~ 1.414

我们通过映射列表上的部分距离函数来计算距离，然后进行排序，以确保较短的距离位于头部

然后我们可以查看距离列表并确保