Haskell 应用：证明`纯f<*&燃气轮机；x=纯（翻转（$）<*&燃气轮机；x<*&燃气轮机；纯f`

在我的研究过程中，我遇到了这个证明，但我不确定我的证明是否正确。问题是:

有人可能会想象交换定律的一个变体，它说明了如何将纯函数应用于有效的参数。使用上述法律，证明：

pure f x=pure（翻转（$）x pure f

“上述法律”简单地指：

pure id <*> v = v -- identity law
pure f <*> pure x = pure (f x) -- homomorphism
u <*> pure y = pure ($ y) <*> u -- interchange
u <*> (v <*> w) = pure (.) <*> u <*> v <*> w -- composition

pure id v=v——恒等式法则
纯f纯x=纯（f x）——同态
u纯y=纯（$y）u——交换
u（v w）=纯的u v w--成分

我的证明如下：

pure f <*> x = pure (($) f) <*> x -- identical
pure f <*> x = pure ($) <*> pure f <*> x -- homomorphism
pure f <*> x = pure (flip ($)) <*> x <*> pure f -- flip arguments

pure fx=pure（$）f）x——相同
纯f x=纯（$）纯f x--同态
纯f x=纯（翻转（$）x纯f--翻转参数

校对的前两步看起来不错，但最后一步不行。而

flip

的定义允许您使用以下规则：

f a b = flip f b a

这并不意味着：

pure f <*> a <*> b = pure (flip f) <*> b <*> a

---

我最终证明了这一点：

pure (flip ($)) <*> x <*> pure f
    = (pure (flip ($)) <*> x) <*> pure f -- <*> is left-associative
    = pure ($ f) <*> (pure (flip ($)) <*> x) -- interchange
    = pure (.) <*> pure ($ f) <*> pure (flip ($)) <*> x -- composition
    = pure (($ f) . (flip ($))) <*> x -- homomorphism
    = pure (flip ($) f . flip ($)) <*> x -- identical
    = pure f <*> x

---

我要指出的是，一般来说，当以单倍体函子的数学形式编写这些定理时，它们的涉及面要小得多，而不是应用版本，即使用等价类

class Functor f => Monoidal f where
  pure :: a -> f a
  (⑂) :: f a -> f b -> f (a,b)

那么法律就是

id <$> v = v
f <$> (g <$> v) = f . g <$> v
f <$> pure x = pure (f x)
x ⑂ pure y = fmap (,y) x
a⑂(b⑂c) = assoc <$> (a⑂b)⑂c

证明：

swap <$> x ⑂ pure u
    = swap <$> fmap (,u) x
    = swap . (,u) <$> x
    = (u,) <$> x
    = pure u ⑂ x

swap x⑂ 纯u
=交换fmap（，u）x
=交换。（，u）x
=（u，）x
=纯u⑂ x

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非常感谢，我最终从右手边到左手边证明了这一点。我没有接受你的回答，因为它实际上没有包括证据，你愿意分享你的证据吗？我的证据与你的证据是相同的向后证据，最后有一些额外的步骤类似于@LeftRoundound的eta扩展。请随意接受您自己的完整答案。最后一步很简单，只需一次eta扩展，不是吗<代码>（$f）。翻转（美元）≡ \x->（$f）$（$x）≡ \x->（$x）$f≡ \x->f$x≡ f@leftarounda关于是的，应该是这样，我实际上在写一篇关于Typoclassopedia的文章，里面有练习的解决方案，这个解释是针对那篇文章的，所以我试着一点一点地解释给那些一开始努力理解它的人。顺便说一句，谢谢你的编辑，看起来好多了。

class Functor f => Monoidal f where
  pure :: a -> f a
  (⑂) :: f a -> f b -> f (a,b)

id <$> v = v
f <$> (g <$> v) = f . g <$> v
f <$> pure x = pure (f x)
x ⑂ pure y = fmap (,y) x
a⑂(b⑂c) = assoc <$> (a⑂b)⑂c

pure u ⑂ x = swap <$> x ⑂ pure u

swap <$> x ⑂ pure u
    = swap <$> fmap (,u) x
    = swap . (,u) <$> x
    = (u,) <$> x
    = pure u ⑂ x